Приложения качественной теории дифференциальных уравнений к биологическим задачам
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
?тва разделяются кривой . Для уравнения (1.4) получается
и D разбивается на области .
)Изоклины расположены симметрично относительно прямой , и,
значит, интегральные кривые тоже должны быть относительно ее симметричны. Функция удовлетворяет соотношению , из которого следует, что если .
Эти три замечания позволяют сделать набросок интегральных кривых для уравнения (1.4) вогнутости (P) интегральных дифференциального уравнения кривых уравнения
Можно увидеть, что обе функции непрерывны в , так что через каждую точку проходит единственная интегральная кривая.
Так же решения можно найти с помощью разделения переменных. Семейство интегральных кривых состоит из кривых, заданных уравнением
(1.5)
где С - постоянная, и решения . Однако нарисовать интегральные кривые непосредственно по уравнению (1.5) труднее, чем по самому дифференциальному уравнению (1.4).
2ОСНОВЫ КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
.1 АВТОНОМНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Определение 1. Дифференциальное уравнение вида
(2.1)
называется автономным.
Это название оправдано тем, что определяется одним только х, и, таким образом, решение само управляет своим изменением.
Решения автономных уравнений обладают следующим важным свойством:
Если -решение уравнения (2.1) с областью определения I и
областью значений x, то h при любом действительном С также является решением с той же областью значений и с областью определения . Это следует из того, что
.
Интегральная кривая получается из интегральной кривой сдвигом по в положительном направлении, на величину С.
Кроме того, если через каждую точку полосы проходит только одна интегральная кривая, то все решения в полосе получаются сдвигами . Таким образом, область D разделяется на полосы, в которых интегральные кривые получаются из какой-нибудь одной кривой сдвигом вдоль оси t.
Рассмотрим примеры автономных дифференциальных уравнений.
.Возьмем уравнение
,
можем записать его как
(2.2)
Интегрируя уравнение (2.2), получим:
т.е.
.Посмотрим, как получаются интегральные кривые уравнения
Запишем его в виде
(2.3)
Проинтегрировав уравнение (2.3):
видим, что решения имеют такой вид:
Это позволяет сделать набросок интегральных кривых данного уравнения:
Для семейств интегральных кривых, в которых кривые получаются одна из другой сдвигами, качественное поведение семейства определяется качественным поведением каждого индивидуального решения, а оно в свою очередь определяется функцией Х(х). Если , то решения либо возрастают, либо убывают; если же Х(с) = 0, то существует решение .
Эти свойства решений удобнее изображать на оси х, чем на плоскости t, x. Если для , то на этом интервале рисуется стрелка, показывающая направление изменения х.
Определение 2.Если Х(с) = 0, то решение изображается точкой . Такие решения называются особыми точками или положениями равновесия уравнения, так как для всех значений t.
Определение 3. Геометрическое изображение качественного поведения решений уравнения называется фазовым портретом.
Если решение х не является особой точкой, то оно должно быть либо возрастающим, либо убывающим; таким образом, если число особых точек конечно, то может существовать только конечное число различных фазовых портретов. Под словом различные подразумеваются отличающиеся набором областей, в которых х возрастает или убывает.
На каждой из получаемых полупрямых функция X может быть либо положительной, либо отрицательной. Следовательно, фазовый портрет должен соответствовать одному из четырех случаев, изображенных на рис. 2.5. Это значит, что качественное поведение любого автономного дифференциального уравнения с одной особой точкой должно соответствовать одному из фазовых портретов на рис. 2.5 при некотором значении с.
Различные дифференциальные уравнения с одной особой точкой, имеющие один и тот же фазовый портрет, считаются качественно эквивалентными.
Замечание. Соображения, которые использовались при получении рис. 2.5, сохраняют свою силу, если точка х = с - одна из многих особых точек на фазовом портрете. Другими словами, качественное поведение х в окрестности любой особой точки должно быть таким же, как в одном из случаев на рис. 2.5. Это поведение определяет характер особой точки.
Из сказанного можно сделать вывод, что фазовый портрет любого автономного уравнения полностью определяется видом его особых точек.
Определение 4. Два дифференциальных уравнения вида качественно эквивалентны, если они имеют равное количество особых точек одинакового характера, расположенных в одинаковом порядке на фазовой прямой.
2.2АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ
Рассмотрим дифференциальное уравнение
(2.4)
где -вектор в . Такое уравнение эквивалентно системе двух связанных уравнений:
(2.5)
причем , так как . Решение уравнения (2.4) является парой функций , удовлетворяющих системе уравнений (2.5).
Вообще говоря, решение содержит две произвольные постоянные, так что возникает двупараметрическое семейство решений.
Качественное поведение этого семейства определяется тем, как ведут себя с увеличением времени. Вместо того чтобы просто