Приложения качественной теории дифференциальных уравнений к биологическим задачам
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
Выпускная работа
Приложения качественной
теории дифференциальных уравнений
к биологическим задачам
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1.
1.ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ДАЛЬНЕЙШЕМ.
1.1 СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ.
1.2 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.
2.ОСНОВЫ КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.
2.1 АВТОНОМНЫЕ УРАВНЕНИЯ
2.2 АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ
3.ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ
3.2 ФАЗОВЫЕ ПОРТРЕТЫ ДЛЯ КАНОНИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ПЛОСКОСТИ
4.НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ
4.1 ЛОКАЛЬНОЕ И ГЛОБАЛЬНОЕ ПОВЕДЕНИЕ ФАЗОВЫХ ПОРТРЕТОВ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
4.2 ЛИНЕАРИЗАЦИЯ СИСТЕМ В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБОЙ ТОЧКИ
4.3 СЛОЖНЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ
4.4 ОБЫКНОВЕННЫЕ ТОЧКИ
5.ПРИМЕРЫ, ИЛЛЮСТРИРУЮЩИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ.
ГЛАВА 2.
1.ПРИЛОЖЕНИЕ КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ К БИОЛОГИЧЕСКИМ ЗАДАЧАМ.
1.1 ФАЗОВЫЕ ПОРТРЕТЫ И ДИНАМИКА.
1.2 КОНКУРИРУЮЩИЕ ВИДЫ.
1.3 УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА - ЛОТКА.
1.4 МОДЕЛЬ ХОЛЛИНГА - ТЭННЕРА.
2.ДРУГИЕ МОДЕЛИ.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
ВВЕДЕНИЕ
Моя выпускная квалификационная работа посвящена изучению основ качественной теории дифференциальных уравнений и ее приложений к биологическим задачам и имеет следующую структуру:
В первой главе я рассматриваю теоремы о существовании и единственности решений дифференциальных уравнений и систем, геометрическую интерпретацию решений, автономные уравнения и системы на плоскости, линейные системы и линейную замену переменных, типы фазовых портретов для канонических систем, нелинейные системы на плоскости и их линеаризацию в окрестности особой точки, локальное и глобальное поведение их фазовых портретов, сложные особые точки и обыкновенные точки. В конце главы я привожу примеры, иллюстрирующие теоретический материал, в которых исследую на устойчивость решения дифференциальных систем, нахожу положения равновесия уравнений, исследую особые точки и рисую фазовые плоскости траекторий уравнений и систем.
Вторая глава посвящена приложениям теории дифференциальных уравнений в биологии. Здесь я рассматриваю дифференциальные уравнения, моделирующие динамику популяций конкурирующих видов, их решения и фазовые портреты. Более подробно изучаю уравнения Вольтерра - Лотка, модель Холлинга - Теннера. В конце главы исследую другие модели, описывающие конкуренцию двух видов, рассматриваю уравнение типа хищник - жертва и рисую типичные фазовые портреты для этих моделей. Примеры и модели я подбирала и исследовала самостоятельно.
Работа состоит из 80 страниц машинописного текста, список литературы содержит 5 наименований.
Теория дифференциальных уравнений возникла из прикладных задач в области механики и астрономии и в настоящее время самым тесным образом связана с приложениями. Она оказывает большое влияние на развитие других областей математики. Характеризуя математику как метод проникновения в тайны природы, можно сказать, что основным путем применения этого метода является формирование и изучение математических моделей реального мира. Изучая какие-либо физические и биологические явления, исследователь прежде всего создает его математическую идеализацию или, другими словами, математическую модель, то есть, пренебрегая второстепенными характеристиками явления, он записывает основные законы, управляющие этим явлением, в математической форме. Очень часто эти законы можно выразить в виде дифференциальных уравнений. Такими оказываются модели различных явлений механики сплошной среды, химических реакций, электрических, магнитных и биологических явлений и др.
Исследуя полученные дифференциальные уравнения вместе с дополнительными условиями, которые, как правило, задаются в виде начальных и граничных условий, математик получает сведения о происходящем явлении, иногда может узнать его прошлое и будущее. Изучение математической модели математическими методами позволяет не только получить качественные характеристики физических явлений и рассчитать с заданной степенью точности ход реального процесса, но и дает возможность проникнуть в суть физических явлений, а иногда предсказать и новые физические эффекты. Бывает, что сама природа физического явления подсказывает и подходы, и методы математического исследования. Критерием правильности выбора математической модели является практика, сопоставление данных математического исследования с экспериментальными данными.
Для составления математической модели в виде дифференциальных уравнений нужно, как правило, знать только локальные связи и не нужна информация обо всем физическом явлении в целом. Математическая модель дает возможность изучать явление в целом, предсказать его развитие, делать количественные оценки изменений, происходящих в нем с течением времени.
Как известно, теория обыкновенных дифференциальных уравнений начала развиваться в XVII веке одновременно с возникновением дифференциального и интегрального исчисления.
Обыкновенные дифференциальные уравнения возникают тог?/p>