Приложения качественной теории дифференциальных уравнений к биологическим задачам
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
?а, когда неизвестная функция зависит лишь от одной независимой переменной. Соотношение между независимой переменной, неизвестной функцией и ее производными до некоторого порядка составляет дифференциальное уравнение. В настоящее время теория обыкновенных дифференциальных уравнений представляет собой богатую, широко разветвленную теорию. Одними из основных задач этой теории являются существование у дифференциальных уравнений таких решений, которые удовлетворяют дополнительным условиям (начальные данные Коши, когда требуется определить решение, принимающее заданные значения в некоторой точке и заданные значения производных до некоторого конечного порядка, краевые условия и другие), единственность решения, его устойчивость. Под устойчивостью решения понимают малые изменения решения при малых изменениях дополнительных данных задачи и функций, определяющих само уравнение. Важными для приложений являются исследование характера решения, или, как говорят, качественного поведения решения, нахождение методов численного решения уравнений.
Важно отметить, что для проверки правильности математической модели очень важны теоремы существования решений соответствующих дифференциальных уравнений, так как математическая модель не всегда адекватна конкретному явлению и из существования решения реальной задачи (физической, химической, биологической) не следует существование решения соответствующей математической задачи.
Начало качественной теории дифференциальных уравнений было положено в работах знаменитого французского математика Пуанкаре. В настоящее время теория дифференциальных уравнений представляет собой исключительно богатый содержанием, быстро развивающийся раздел математики, тесно связанный с другими областями математики и с ее приложениями.
Многие разделы теории дифференциальных уравнений так разрослись, что стали самостоятельными науками. Можно сказать, что большая часть путей, связывающих абстрактные математические теории и естественнонаучные приложения, проходит через дифференциальные уравнения. Все это обеспечивает теории дифференциальных уравнений почетное место в современной науке.
Известно много приложений математики в биологии. В первую очередь это исследования по физиологическим проблемам, относящимся к ощущениям, кровообращению, движению животных; эти исследования можно рассматривать как разделы оптики, акустики, гидродинамики, механики твердого тела.
Мы будем рассматривать биологические сообщества. Они состоят из нескольких популяций биологических видов, живущих в общей среде. Обычно индивидуумы этих сообществ оспаривают одну и ту же пищу, или же одни виды живут за счет других, которыми они питаются. Так же они могут и взаимно оказывать друг другу помощь. Все это входит в общее явление борьбы за существование. Количественный характер этого явления проявляется в заданной среде в виде изменений численности индивидуумов, составляющих различные популяции. В определенных условиях эти изменения состоят в колебаниях числа индивидуумов около некоторых средних значений, в других случаях они вызывают исчезновение или прогрессирующее увеличение некоторых видов.
Изучение этих вариаций и разнообразных изменений является важным теоретически, но во многих случаях это изучение представляет и огромную практическую важность, как это мы имеем в случае живущих в одних и тех же морях разных видов рыб, изменение числа которых интересует промышленность. Точно так же изменение числа паразитов растений интересует агрономию в том случае, когда эти паразиты ведут борьбу за существование с их собственными паразитами. Инфекционные болезни, например, малярия, показывают также изменения, которые зависят, по всей вероятности, от подобных же причин.
Борьба за существование относится к тем вопросам, о которых в конце позапрошлого века очень много спорили, но не делали почти никаких попыток узнать, что она в действительности собой представляет. В XX веке несколько выдающихся людей ясно чувствовали необходимость математической теории борьбы за существование и делали определенные шаги в этой области. При этом часто один исследователь не знал о работах другого, но приходил к тем же самым выводам, что и его предшественник. По-видимому, всякое серьезное размышление над процессом конкуренции заставляет человека охватить этот процесс в его целом, а это неизбежно ведет к математике, так как простое описание и даже количественное выражение данных еще недостаточно для ясного представления о взаимоотношении конкурирующих компонентов в процессе их роста.
Первый шаг в этой области был сделан Рональдом Россом в 1911 году, который интересовался в это время распространением малярии. Размышляя над процессом распространения, Росс пришел к заключению, что он имеет дело со своеобразным случаем борьбы за существование между малярийным плазмодием и человеком при участии комара. Росс математически сформулировал уравнение борьбы за существование для малярии, которое по своей идее довольно близко к тем уравнениям борьбы за существование, которые были предложены в 1926 г. итальянским математиком Вольтерра, не знавшим об исследованиях Росса. В то время как Росс работал над вопросом о распространении малярии, американский математик Лотка теоретически исследовал ход определенных химических реакций и должен был здесь иметь дело с уравнениями такого же типа. Позже Лотка заинтересовался проблемой борьбы за существование, и