Приложения качественной теории дифференциальных уравнений к биологическим задачам
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
ности начала координат фазовые портреты этой системы и ее линеаризации качественно эквивалентны, если только особая точка линеаризованной системы не является центром.
Если собственные значения линеаризованной системы имеют действительную часть, отличную от нуля, то фазовые портреты нелинейной системы и ее линеаризации качественно эквивалентны в окрестности особой точки. Такие особые точки называются гиперболическими.
Эта теорема устанавливает связь фазового портрета нелинейной системы в окрестности некоторой особой точки с фазовым портретом ее линеаризации.
Аналогия между особыми точками нелинейных систем и их линеаризацией более тонкая, чем просто качественная эквивалентность, и не сводится к окончательной классификации особых точек на устойчивые, седловые и неустойчивые, приведенной на рис. 3.7. Внутри устойчивых и неустойчивых классов для особых точек нелинейных систем также можно определить узлы, вырожденные узлы и фокусы таким образом, что если особая точка линеаризации является узлом, вырожденным узлом или фокусом, то такой же характер имеет особая точка исходной нелинейной системы.
Траектории, представляющие собой лучи для линеаризованной системы в некоторой особой точке являются касательными к соответствующим траекториям нелинейной системы.
Если для линеаризованной системы особая точка - центр, то для исходной нелинейной системы она может быть центром или фокусом. Если траектории системы имеют ось симметрии, проходящую через исследуемую особую точку, то последняя будет центром для этой системы. Фокус имеется тогда и только тогда, когда нулевое решение системы будет асимптотически устойчиво при или при
4.3СЛОЖНЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ
Определение 4. Особая точка нелинейной системы является сложной, если соответствующая линеаризованная система является вырожденной.
Такие линейные системы имеют целую прямую, а иногда и целую плоскость, особых точек. Нелинейные члены и могут существенно изменить это поведение.
Систему уравнений исследуем методом изоклин.
Запишем в виде
(4.5)
Интегральные кривые имеют наклон в точках пересечения с кривой
.
А множество изоклин, которое получается, когда мы придаем с различные действительные значения, - это семейство парабол:
и прямая .
Некоторые из этих изоклин изображены на рисунке 4.1 (а) красным цветом.
А угол наклона касательных к интегральным кривым можно найти из формулы:
Получаем при
при
.
Особой точкой уравнения является точка(0,0)
Используя достаточно густое семейство изоклин, мы может получить отчетливое представление о траекториях уравнения (4.5). Как мы видим на рисунке (4.1(а)), только одна траектория (лежащая на прямой ) стремится к особой точке, а все остальные рано или поздно от нее уходят.
Характер локального фазового портрета определяется теперь нелинейными членами. Поэтому в отличие от простых особых точек, существует бесконечно много различных типов локальных фазовых портретов.
Линеаризации многих систем имеют на своих фазовых портретах по крайней мере одну прямую, состоящую из особых точек. Так же линии, состоящие из особых точек, могут возникать и в нелинейных системах; они не обязаны быть прямыми и всегда состоят из непростых особых точек.
В силу сделанных выше замечаний неудивительно, что не существует
подробной классификации непростых особых точек. Однако определения устойчивости (применимые как к простым, так и к непростым особым точкам)
позволяют дать грубую классификацию качественного поведения.
Теорема 1. Всякая достаточно малая окрестность особой точки системы
не являющаяся центром или топологическим узлом, состоит из конечного числа эллиптических, параболических и гиперболических областей (в частных случаях области некоторых типов могут отсутствовать), примыкающих последовательно одна к другой, а так же из точек траектории, отделяющих эти области одной от другой и из самой особой точки.
Сложные особые точки с нулевыми характеристическими корнями.
Рассмотрим систему
(4.6)
где и аналитические функции, не имеющие общего множителя, отличного от постоянного. В разложениях этих функций по степеням и хотя бы один из линейных членов не равен нулю.
Пусть начало координат является сложной особой точкой этой системы, т.е.
и определитель матрицы коэффициентов линеаризованной системы, соответствующей системе (4.6) в начале координат равен нулю:
(4.7)
Следовательно, хотя бы одно из собственных значений матрицы равно нулю. Среди сложных особых точек, для которых выполняется условие (4.7), выделяются два случая в зависимости от следа матрицы :
Так как характеристическое уравнение имеет вид
то, в случае, когда , только один характеристический корень равен нулю, второй же равен . А в случае, когда trA,оба характеристических корня равны нулю..Рассмотрим случай, когда .
В этом случае систему (4.6) в окрестности начала координат можем представить в каноническом виде:
где , а разложения по степеням функций и начинаются с членов не менее чем второго порядка.
Введем в рассмотрение функцию
являющуюся решением уравнения
Подставим функцию в и введем обозначение
Так как функции и не имеют общего множителя,