Приложения качественной теории дифференциальных уравнений к биологическим задачам
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
?алось рассмотреть точку .
Укороченная система имеет вид:
Корни характеристического уравнения
вещественные и разных знаков, значит, особая точка седло.
Для собственный вектор равен Следовательно, прямые интегральные, а остальные кривые в окрестности особой точки их касаются.
Интерпретация фазового портрета в терминах поведения вида:
Мы рассматриваем взаимодействие двух видов, численности которых x и y, описаны уравнениями
Начало координат является неустойчивым дикритическим узлом, значит, все траектории удаляются от точки , поэтому возможность вымирания обоих видов исключена. Неподвижные точки (0, 2) и (2, 0) - устойчивые узлы и соответствуют вымиранию одного из видов 1 и 2. Точка является седлом и она характеризует сосуществование двух видов. Из рисунка видно, что она неустойчива, в нее входят только две сепаратрисы, отделяющие области выживания каждого из видов, а все остальные траектории от нее удаляются. Сместившись от этой особой точки даже на маленькое расстояние, мы сразу попадем либо в точку (0,2), либо в (2,0), то есть один из видов вымирает.
2.Исследуем поведение особых точек системы, описывающих конкуренцию видов
(2.1)
при изменении параметра для всех
Приравняем к нулю правые части уравнений системы
и найдем особые точки:
Матрицы для каждой из неподвижных точек:
Рассмотрим характер неподвижных точек при различных значениях .)Когда у системы
(2.2)
будет три особые точки:
Начало координат является неустойчивым узлом, так как собственные значения матрицы вещественные и положительные. Собственный вектор для , для
Собственные значения матрицы вещественные и разных знаков, значит, особая точка является седлом. А собственные векторы для равны и соответственно.
Теперь рассмотрим точку . Собственные значения ее матрицы: . То есть особая точка сложная. Определитель ее равен нулю, а след ненулевой. Мы рассматривали такие сложные особые точки в параграфе 4, это случай I. Перенеся точку в начало координат и поменяв местами оси, представим систему (2.2) в виде:
Обозначим и получим систему:
Мы видим, что . Введем в рассмотрение функцию
И подставив ее в увидим, что . Теперь подставим найденное в и введем обозначение
Получается По теореме 2 из параграфа 4, особая точка является седло-узлом с устойчивым узловым сектором и, кроме того, траектории узлового сектора стремятся к этой точке справа от оси Изображение особой точки на плоскости представлено на рисунке 2.2.
Поведение фазовых траекторий системы дает наглядное представление о возможных исходах конкуренции.
Найдем уравнения для главных изоклин системы (2.2):
уравнения изоклин вертикальных касательных.
- уравнения изоклин горизонтальных касательных.
Мы видим, что если скорость размножения изолированной популяции больше скорости размножения популяции в 4 раза, а внутривидовая конкуренция меньше чем у конкуренции тоже в 4 раза, то выживает популяция , а популяция вся вымирает.)При данная система примет вид:
(2.3)
Особых точек у нее тоже 3, как и в предыдущем случае:
Начало координат является неустойчивым дикритическим узлом. Собственные значения его матрицы:
Для матрицы . Одно из них равно нулю и, значит, особая точка сложная.
Как и в предыдущем случае, определитель матрицы нулевой, а след не равен нулю. Перенесем точку в начало координат и получим систему:
После замены эта система примет вид:
Подставив функцию в , найдем и подставим его в , после чего найдем
Следовательно, По теореме 2 из параграфа 4, особая точка является седло-узлом с устойчивым узловым сектором, траектории которого стремятся к этой точке слева от оси
Для матрицы: вещественные и отрицательные, следовательно, особая точка - устойчивый узел.
Собственный вектор для
Для построения интегральных кривых найдем уравнения для главных изоклин системы (2.3):
- уравнения изоклин вертикальных касательных.
- уравнения изоклин горизонтальных касательных.
Из рисунка видно, что выживает популяция , это случается, потому что внутривидовая конкуренция у популяции больше чем у популяции и популяция вся вымирает.)Посмотрим характер особых точек системы при
).
Особая точка при всех значениях является неустойчивым узлом, так как собственные значения ее матрицы: вещественные и положительные.
Особая точка является седлом при и устойчивым узлом при , так как собственные значения ее матрицы вещественные и разных знаков, когда , и оба отрицательные, когда
Особая точка является седлом при и устойчивым узлом при , так как собственные значения ее матрицы равны вещественные и разных знаков при и оба отрицательные при .
Особая точка при не находится в первом квадранте, и поэтому мы не рассматриваем этот случай.
Матрица для этой точки имеет след
,
определитель
,
который при положительный, а при ) отрицательный, и , которая при любых положительная.
Таким образом, исследуемая особая точка при является устойчивым узлом, при ) - седлом.
Случай (а) соответствует сосуществованию видов , случай (b) -