Приложения качественной теории дифференциальных уравнений к биологическим задачам
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
получим уравнение вида
Прямые, проходящие через особую точку, ищем в виде .
Здесь .
Значит, искомые прямые.
8)Найдем и исследуем особые точки системы
Система уравнений
имеет решения . Следовательно, точки особые.
Исследуем каждую из этих точек.
С помощью замены
данную систему приводим к виду:
.
Отсюда, применяя формулу Тейлора и отбрасывая нелинейные члены, получаем:
.
Решив характеристическое уравнение
видим, что первая особая точка - неустойчивый узел.
Для находим собственный вектор , а для - вектор . На плоскости строим прямые, направленные вдоль этих векторов, а затем кривые, касающиеся своими вершинами с обеих сторон второй из этих прямых в точке , так как , как показано на рис.5.3.
Положив
из данной системы аналогично предыдущему случаю получаем:
.
И после аналогичных выкладок приводим ее к линеаризованной:
.
Корни характеристического уравнения: вещественные и разных знаков, следовательно, вторая особая точка - седло.
Теперь находим собственные вектора, и по ним устанавливаем направление движения по траекториям.
В примерах 9,10 и 11 исследуем особые точки.
9)Система
имеет две особые точки: .
Аналогично предыдущим задачам получим, что в особой точке линеаризованная система имеет вид:
Корни характеристического уравнения: равные и отрицательные, значит, особая точка является устойчивым вырожденным узлом. По теореме о линеаризации особая точка данной системы будет того же типа, что и особая точка линеаризованной системы. Более того, картины расположения интегральных кривых данной системы и укороченной системы в малой окрестности особой точки будут примерно одинаковы.
Собственный вектор для . Прямая, направленная вдоль этого вектора является интегральной и ее касаются все интегральные кривые в точке .
Теперь исследуем интегральные кривые уравнения
с помощью метода изоклин. В точках пересечения с кривой
(где - некоторая постоянная) интегральные кривые имеют наклон .
При
При
При
Линеаризация системы в окрестности особой точки имеет вид:
.
Корни характеристического уравнения:
вещественные и разных знаков, следовательно, особая точка . Аналогично предыдущему случаю, точка будет седлом и для исходной системы.
Для собственный вектор равен , а для равен .
Значит, по прямой интегральные прямые входят в седло, а по прямой выходят из него.
10)Рассмотрим систему:
Поскольку эта система при замене x на -x, y на -y вида не меняет, то картина фазовых траекторий симметрична как относительно оси Ox, так и относительно оси Oy.
Данная система имеет четыре особые точки:
Рассмотрим точки
После замены
и линеаризации, получим систему:
Поскольку корни характеристического уравнения этой системы:
комплексные и чисто мнимые, то особая точка - центр. Для исходной системы эта точка может быть фокусом или центром. В силу симметрии интегральных кривых относительно оси Ox, точка центр, аналогично точка тоже является центром.
Направление движения по траекториям определим по вектору скорости.
Для точки вектор скорости в точке равен , следовательно, движение идет по положительному направлению.
Теперь рассмотрим точку .
Сделаем замену .
Укороченная система имеет вид:
.
Корни характеристического уравнения: следовательно особая точка седло.
Найдем собственные векторы для и :
Для собственный вектор равен , и по прямой интегральные прямые выходят из седла.
Для вектор равен , значит, по прямой интегральные прямые входят в седло.
В силу симметричности траекторий относительно оси Oy, точка также седло, и из нее наоборот интегральные прямые выходят по оси Ox, а входят по прямой .
11)Исследуем особые точки системы:
.
Из системы уравнений
находим координаты особых точек:
Полагая , приводим систему дифференциальных уравнений к укороченному виду:
Из характеристического уравнения
видим, что собственные числа вещественные и разных знаков, значит, точка седло.
Найдем собственные векторы для .
Для - это вектор ,
а для - вектор
Аналогично, положив и удержав линейные члены, из данной системы получаем укороченную:
Решив характеристическое уравнение
заключаем, что точка является устойчивым узлом.
Так же найдем для собственный вектор и для Следовательно, все интегральные кривые касаются вектора , так как .
Теперь сделаем замену , и как в предыдущих случаях рассмотрим укороченную систему, получившуюся из данной:
Поскольку корни уравнения
равны , то особая точка неустойчивый фокус.
Для выяснения направления закручивания интегральных кривых (спиралей) построим вектор скорости в точке :
.
Приняв во внимание, что фокус неустойчивый, видим, что при движении по спиралям от особой точки будет происходить вращение по часовой стрелке.
Для рассмотрения ост