Приложения качественной теории дифференциальных уравнений к биологическим задачам
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
в 1920 г. сформулировал уравнение, описывающее взаимодействие между хозяевами и паразитами, причем он представил обильный и интересный материал в своей ценной книге "Элементы физической биологии" (1925). Не будучи знаком с этими исследованиями, итальянский математик Вито Вольтерра предложил в 1926 г. довольно сходные уравнения борьбы за существование. В то же самое время он способствовал значительному продвижению вперед в области всей этой проблемы, впервые проведя исследования многочисленных важных вопросов теории конкуренции с теоретической точки зрения. Таким образом, три видных исследователя пришли к весьма сходным теоретическим уравнениям практически в одно и то же время, однако за счет совершенно разных подходов. Также интересно отметить, что экспериментальное изучение борьбы за существование началось только после того, как почва для этого была подготовлена чисто теоретическими исследованиями.
Исследования борьбы за существование несомненно будут в будущем быстро прогрессировать, однако этим исследованиям придется преодолеть определенный разрыв между исследованиями современных биологов и математиков. Нет сомнения, что борьба за существование представляет собой биологическую проблему, и она должна решаться экспериментальным путем, а не за столом математика. Однако, для того, чтобы глубже проникнуть в природу этих явлений, ученые должны объединить экспериментальный метод с математической теорией, возможность которой создана блестящими исследованиями Лотки и Вольтерры. Соединение экспериментального метода с количественной теорией вообще является одним из самых мощных средств современной науки.
ГЛАВА 1.
.ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ДАЛЬНЕЙШЕМ
1.1СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ.
Определение. Пусть - действительнозначная функция действительных переменных t и х с областью определения . Функция где t принадлежит некоторому интервалу , для которой всюду на I выполняется равенство
(1.1)
называется решением дифференциального уравнения (1.1).
Чтобы функция была решением, необходимо выполнение условия для любого ; таким образом, область D ограничивает как область определения, так и область значений функции .
Предложение 1 Если функция X непрерывна в открытой области , то для любой точки существует решение , , уравнения такое, что и .
Замечание. Это предложение не исключает случая, когда более чем для одного решения .
Предложение 2. Если X и непрерывны в некоторой открытой области , то для любой заданной точки существует единственное решение уравнения такое, что .
Замечание. Предложение 1.2 дает достаточное условие, при котором каждой точке из соответствует только одно решение.
1.2ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИ.
Решение уравнения представляется геометрически графиком функции . Этот график определяет интегральную кривую на плоскости .
Если X непрерывна в D, то предложение 1 утверждает, что интегральные кривые заполняют область D плоскости . Это следует из того, что каждая точка D должна лежать, по крайней мере, на одной интегральной кривой. Таким образом, решения дифференциального уравнения представляются семейством интегральных кривых в D (рис. 1.1-1.3).
Eсли обе функции X и непрерывны в D, то из предложения 2 следует, что существует единственная интегральная кривая, проходящая через каждую точку D.
Примеры.
1.Рассмотрим уравнение
(1.2)
в области D плоскости (t, x).
Интегрируя его, мы получим
следовательно
Когда , .
Для точек , будем рассматривать перевернутое уравнение
(1.2)
Как мы видим, интегральными кривыми уравнения (1.2) являются гиперболы:
верхняя и нижняя части оси Ox.
,(
тоже являются интегральными кривыми, что вытекает из рассмотрения уравнения (1.2).
Интегральные кривые следующих уравнений исследуем с помощью метода изоклин. Это метод позволяет, не интегрируя уравнение, увидеть, как ведут себя его решения.
2.Рассмотрим уравнение
(1.3)
Дифференциальное уравнение задает наклон интегральных кривых
(т.е. угловой коэффициент касательных к ним) во всех точках области D. Так, в частности, в точках пересечения с кривой (где - некоторая постоянная) интегральные кривые имеют наклон . Такая кривая называется изоклиной наклона. Множество изоклин, которое получается, когда мы придаем различные действительные значения, - это семейство прямых:
,
.
А угол наклона касательных к интегральным кривым можно найти из
формулы:
Таким образом, при
при
3.Сделаем набросок интегральных кривых уравнения
(1.4)
в области D плоскости t, х, где .
)В этом случае интегральные кривые имеют наклон в точках
пересечения с кривой .
А множество изоклин, которое получается, когда мы придаем с различные действительные значения, - это семейство гипербол:
с асимптотами .
Множество изоклин:
)Знак определяет, в каких точках D интегральные кривые выпуклы, а
в каких вогнуты. Если , то функция возрастает (убывает) при возрастании t и интегральная кривая вогнута (выпукла). Таким образом, область D можно разбить на два подмножества, на каждом из которых интегральные кривые либо выпуклы, либо вогнуты; эти множе?/p>