Приложения качественной теории дифференциальных уравнений к биологическим задачам
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
динат, обладающих указанным выше свойством, по крайней мере в некоторой окрестности произвольной обыкновенной точки любой системы. Таким образом, все локальные фазовые портреты в обыкновенных точках качественно эквивалентны.
5ПРИМЕРЫ, ИЛЛЮСТРИРУЮЩИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
1)Исследуем на устойчивость нулевое решение системы
(5.1)
Выделяя линейную часть функций по формуле Тейлора, получаем
функции равны и, значит, линеаризация системы (5.1) будет выглядеть так:
Теперь находим собственные значения матрицы коэффициентов
.
Они вещественные и один из них положителен, значит, особая точка является седлом, и нулевое решение неустойчиво.
2) Выясним, при каких значениях параметров a и b нулевое решение данной системы устойчиво.
(5.2)
Как и в прошлом примере рассмотрим линеаризацию системы (5.2)
и найдем собственные значения матрицы коэффициентов
Мы знаем, что нулевое решение устойчиво тогда и только тогда, когда корни отрицательны.
Рассмотрим, при каких значениях корни будут удовлетворять этому
условию.
Когда корни комплексные с отрицательной вещественной частью.
Когда корни вещественные, и отрицательными будут при
.
Следовательно, нулевое решение системы (5.2) устойчиво при .
3)Исследуем, устойчиво ли решение системы
Для этого сначала переведем решение в нулевое.
Сделаем замену При этом данная система примет вид:
После преобразований и линеаризации получим:
Теперь найдем корни характеристического уравнения
Они вещественные и разных знаков, значит, решение неустойчиво.
В четвертом и пятом примерах найдем все положения равновесия и исследуем их на устойчивость.
4)Рассмотрим систему:
Чтобы найти ее положения равновесия надо решить систему уравнений:
Получаем две особые точки .
Перенесем точку в начало координат.
При замене система примет вид:
.
Теперь линеаризуем ее и получим:
.
Найдем собственные значения матрицы коэффициентов:
.
Они равные и положительные, следовательно, в точке положение равновесия является неустойчивым вырожденным узлом.
Теперь точку переведем в заменой
Получим систему:
которая после линеаризации будет иметь вид
.
Корни характеристического уравнения
вещественные и разных знаков: , следовательно, в точке положение равновесия неустойчиво и является седлом.
5)Теперь найдем положения равновесия системы
(5.3)
Из уравнения
находим, что
.
Подставив найденные в уравнение:
,
получаем точки вида (), , в которых данная система находится в равновесии.
Для исследования этих точек на устойчивость надо перенести их в начало координат.
Сделаем замену
и рассмотрим два случая, когда четные числа и когда нечетные.
(a)При после замены система (5.3) останется прежней:
,
и ее линеаризация имеет вид:
Найдем корни характеристического уравнения:
.
Они вещественные и разных знаков. Поэтому в точках вида ( положение равновесия неустойчиво и является седлом.
(b)При после замены система (5.3) примет вид
После линеаризации получим:
Корни характеристического уравнения
вещественные и меньше нуля, следовательно, в точках вида положение равновесия является устойчивым узлом.
6)Исследуем особую точку (0,0) уравнения:
Составим и решим характеристическое уравнение:
значит
Корни вещественные, различные и положительные. Следовательно, особая точка - неустойчивый узел.
Чтобы начертить траектории, находим для собственный вектор , а для вектор На плоскости строим прямые, направленные вдоль этих векторов, а затем кривые, касающиеся в начале координат первой из этих прямых, так как .
7)Найдем и исследуем особые точки уравнения
(5.4)
Его можно записать в виде системы:
(5.5)
Особыми точками уравнения (5.4) являются точки, в которых
Следовательно, уравнение имеет две особые точки
Исследуем особую точку .
Перенесем ее в начало координат с помощью замены:
, .
и линеаризуем:
Найдем корни характеристического уравнения
.
Значит, особая точка - фокус.
Строим в точке вектор скорости. Следовательно, возрастанию t соответствует движение по траекториям по часовой стрелке. Так как вещественная часть корней l равна , то особая точка устойчива, следовательно, при возрастании t решения приближаются к особой точке , как показано на рис. 5.2.
Особую точку исследуем аналогично.
Система (5.5) после замены , и линеаризации примет вид:
Решим характеристическое уравнение:
Собственные числа: .
Значит, особая точка неустойчивый узел (рис. 5.2).
Разделив