Приложения качественной теории дифференциальных уравнений к биологическим задачам
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
>Хотя незатухающие негармонические колебания встречаются для нелинейных систем с центрами на фазовых портретах, неизвестно, являются ли такие колебания устойчивыми относительно возмущений самой модели. Если модифицировать уравнения Вольтерра - Лотка (1.10) таким образом, чтобы учитывалась внутривидовая конкуренция, на фазовом портрете измененной таким образом системы уже не будет центра, он превратится в фокус, и колебания популяции будут затухать. Способность к легкому разрушению вообще является характерным свойством центров; говорят, что они структурно неустойчивы.
Другая возможность, при которой в нелинейных системах возникают незатухающие колебания, - это наличие предельных циклов на их фазовых портретах. Предельные циклы являются структурно устойчивыми и, следовательно, представляют собой более постоянную характерную черту фазового портрета системы: они не имеют тенденции исчезать при относительно малых возмущениях модели. Модели, не чувствительные к малым возмущениям, называются грубыми. Поскольку большинство моделей являются идеализациями, в которых внимание сосредоточено только на некоторых основных переменных и соотношениях между ними, такой вид устойчивости чрезвычайно важен.
Система хищник - жертва для двух видов является, конечно, именно такой идеализацией, и модель Вольтерра - Лотка не является грубой. Поэтому возникает сомнение, отражает ли система (1.10) настоящий механизм колебаний численности популяций. Модель, в которой возникают структурно устойчивые колебания численности популяций для системы хищник - жертва, - это модель Холлинга - Тэннера. Динамические уравнения этой модели имеют вид
(1.11)
где
Скоростью роста популяции жертв является разность двух членов:) , задающего скорость размножения жертв в отсутствие хищников. Сюда включен член, соответствующий межвидовой конкуренции в условиях ограниченных ресурсов ;), описывающего влияние хищников.
Чтобы объяснить вид члена , надо понять влияние хищников в терминах коэффициента хищничества. Это - количество жертв, убиваемых одним хищником в единицу времени. В уравнениях (1.10) коэффициент хищничества равен . Это значит, что количество жертв, убиваемых одним хищником в единицу времени, неограниченно растет вместе с популяцией жертв.
Более разумным представляется предположение, что существует верхний предел коэффициента хищничества, т. е. что хищник перестает убивать, когда насыщается. Это учитывается видом члена , в котором коэффициент хищничества равен (см. рис. 1.8).
Скорость роста популяции хищников такая же, как в (1.11), в предположении, что жертвы достаточно редки. Допустим, что количество жертв, необходимых для поддержания жизни одного хищника, равно . Таким образом, популяция из жертв может поддерживать не более чем хищников. Мы должны построить модель таким образом, чтобы количество хищников не превышало критическую величину; это достигается при
Именно это уравнение задано в (1.11).
Как видно на чертеже, существует неподвижная точка с положительными значениями ; обозначим ее Чтобы определить характер этой неподвижной точки, удобно в уравнениях (1.11) изменить масштаб переменных, разделив их на . Получим уравнения
(1.12)
где а Кроме того, на плоскости неподвижная точка имеет координаты
(1.13)
Матрица коэффициентов линеаризованной в точке системы имеет вид
Заметим, что
так что никогда не может быть седлом. Однако, подставив из (1.13), получим, что
а это выражение может быть как положительным, так и отрицательным.
Если то является неустойчивой неподвижной точкой. Так же, если набор параметров удовлетворяет условию
то на фазовом портрете системы (1.12) имеется устойчивый предельный цикл, как показано на рис. 1.10. А если точка лежит левее максимума на нулевой изоклине , то она является просто устойчивым фокусом.
2. ДРУГИЕ МОДЕЛИ
1.Исследуем характер неподвижных точек модели, описывающей конкуренцию видов
.
Из системы
Найдем особые точки: .
Рассмотрим точку . Линеаризация данной системы имеет вид:
Составив и решив характеристическое уравнение:
видим, что корни одинаковые и положительные, значит, особая точка - неустойчивый дикритический узел. То есть множество интегральных прямых вида выходят из точки .
При рассмотрении точки сделаем замену:
и приведем исходную систему к укороченной:
Из уравнения
находим и, следовательно, точка является устойчивым вырожденным узлом. Собственный вектор для l равен . Таким образом, прямая интегральная, и ее касаются все интегральные кривые в точке . Если рассмотреть векторы скорости, например, в точке , то можно построить поле направлений, и затем начертить интегральные кривые, как показано на рисунке 2.1.
Далее, сделаем замену
,
и получим для особой точки укороченную систему:
.
Характеристическое уравнение имеет корни . Как и в предыдущем случае, точка тоже устойчивый вырожденный узел. Здесь собственный вектор для l равен , и интегральная прямая, которую касаются все кривые - это . Построив векторы скорости в точке , строим интегральные кривые.
Ос?/p>