Приложения качественной теории дифференциальных уравнений к биологическим задачам
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
°нных трех типов: асимптотически устойчивому, нейтрально устойчивому или неустойчивому.
Дадим строгое определение устойчивой особой точки.
Определение 5. Особая точка системы называется устойчивой, если для любой окрестности V точки существует некоторая меньшая окрестность этой точки такая, что любая траектория, проходящая через , остается в при возрастании t.
Определение 6. Особая точка системы называется асимптотически устойчивой, если она устойчива и, кроме того, существует окрестность V точки такая, что любая траектория, проходящая через V, стремится к при стремлении t к бесконечности.
Замечание. Любая асимптотически устойчивая особая точка устойчива. Но обратное неверно.
Определение 7. Особая точка системы , которая устойчива, но не асимптотически устойчива, называется нейтрально устойчивой.
Определение 8. Особая точка системы , которая не является устойчивой, называется неустойчивой.
Это значит, что существует такая окрестность V особой точки, что для любой окрестности имеется по крайней мере одна траектория, которая проходит через и не остается в . Например, седло неустойчиво, так как существует сепаратриса, содержащая точки, сколь угодно близкие к началу координат, причем при движении по этой сепаратрисе точка стремится к бесконечности при возрастании времени.
Типы устойчивости простых линейных особых точек:
a)Устойчивый узел, вырожденный узел и фокус обладают следующим
свойством: при траектории стремятся к началу координат. Таким образом, удовлетворяет требованиям определения 5, и эти особые точки асимптотически устойчивы.
Центр не является асимптотически устойчивым, но он устойчив. Это следует из определения 6 с
Таким образом, центр нейтрально устойчив.
Неустойчивые узел, вырожденный узел и фокус, а также седло неустойчивы.
4НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ
В этом параграфе будем рассматривать фазовые портреты систем - непрерывно дифференцируемая нелинейная функция. Такие фазовые портреты не всегда определяются характером особых точек системы.
4.1 ЛОКАЛЬНОЕ И ГЛОБАЛЬНОЕ ПОВЕДЕНИЕ ФАЗОВЫХ ПОРТРЕТОВ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
При исследовании нелинейных систем часто приходится встречаться с сужениями полных, или глобальных фазовых портретов на некоторую окрестность точки , которую мы можем выбирать сколь угодно малой. Такое сужение называется локальным фазовым портретом в точке .
Замечание. Качественный портрет простой линейной системы определяется характером особой точки. Другими словами, локальный фазовый портрет в начале координат качественно эквивалентен глобальному фазовому портрету системы.
Нелинейные системы могут иметь более одной особой точки, и часто можно для каждой из них построить локальный фазовый портрет. Однако, локальные фазовые портреты не всегда определяют глобальный фазовый портрет.
Определение 1. Замкнутая траектория С на фазовом портрете называется предельным циклом, если она изолирована от всех остальных замкнутых траекторий; точнее, если существует трубчатая окрестность С, не содержащая других замкнутых траекторий.
Типы предельных циклов:
Предельный цикл называется
)Устойчивым, если траектории, проходящие
через окрестность V предельного цикла остаются в этой же окрестности при всех ;
)Неустойчивым предельным циклом, если
траектории, проходящие через окрестность V
предельного цикла покидают ее при всех ;
)Полуустойчивым предельным циклом, если
траектории, проходящие через окрестность V предельного цикла, с одной стороны остаются в этой окрестности, а с другой стороны выходят за ее пределы при возрастании .
Признак отсутствия предельных циклов (Бендиксона):
Запишем в виде системы уравнений:
Если правые части этих уравнений имеют непрерывные частные производные первого порядка в односвязной области D и выражение
нигде не меняет знак и не равно тождественному нулю, то в области D нет предельных циклов.
4.2ЛИНЕАРИЗАЦИЯ СИСТЕМ В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБОЙ ТОЧКИ
Рассмотрим нелинейные системы, имеющие особую точку в начале координат.
Определение 2. Допустим, что систему можно записать в виде
(4.1)
где .
Линейная система
(4.2)
называется линеаризацией системы (3.1) (или линеаризованной системой, соответствующей (4.1)) в начале координат. Компоненты линейного векторного поля системы (4.2) называются линейной частью (4.1).
Замечание. Определение 2 можно также применить к особым точкам, отличным от начала координат, введя локальные координаты.
Пусть -особая точка нелинейной системы
.
При замене переменных
точка перейдет в начало координат. Координаты называются локальными координатами в точке .
В этих координатах система имеет вид
(4.3)
где - компоненты вектора X.
Если мы положим
то (4.3) преобразуется в систему
(4.4)
Для системы (4.4) интересующая нас особая точка находится в начале координат, и в ней можно строить линеаризацию.
Определение 3. Говорят, что начало координат является простой особой точкой системы , если соответствующая линеаризованная система проста.
Теорема о линеаризации. Пусть нелинейная система
имеет простую особую точку . Тогда в окрест