Приложения качественной теории дифференциальных уравнений к биологическим задачам
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
указывать на фазовой прямой, увеличивается или уменьшается величина х, мы должны показать как изменяется положение точки х на фазовой плоскости. Поэтому фазовый портрет будет двумерным, а качественное поведение определяется семейством кривых с указанием направления движения по этим кривым при возрастании t. Такие кривые называются траекториями.
Качественное исследование уравнений на плоскости начинается с изучения особых точек уравнения (2.4). Особым точкам соответствуют решения вида , и они возникают в случае, когда
Соответствующая траектория - это точка на фазовой плоскости.
)Система
имеет особую точку (0,0) и решения
(2.6)
где - некоторые действительные постоянные. Любое решение из семейства (2.6) при удовлетворяет для всех t уравнению
Таким образом, каждая траектория семейства (2.6) лежит на некоторой прямой, проходящей через начало координат. Из уравнений (2.6) видно, что при любых ненулевых значения убывают при возрастании t и стремятся к нулю при . На рисунке 2.6 это показано с помощью стрелок на траекториях; если представляет собой положение фазовой точки х в момент t, то с ростом времени t она движется по направлению к началу координат. Чтобы изобразить это, достаточно нарисовать направленный луч.
)На рис. 2.7 показана еще одна возможность. Здесь при возрастании
t величина убывает, а возрастает. Система
имеет решения
где - действительные числа.
Тогда
с . В этом случае только две траектории стремятся, к особой точке (0, 0), а все остальные от нее рано или поздно уходят, причем при , и наоборот. Качественное поведение здесь сильно отличается от того, что представлено на рис. 2.6.
Уравнения траекторий можно часто найти, решая уравнение
(2.7)
Иногда необходимо получить фазовый портрет, когда невозможно записать обозримые явные формулы для решений. Это можно сделать, обобщив метод изоклин на случай плоскости. Во всех точках плоскости, где задана векторная функция , она задает вектор х (векторное поле). Для качественного исследования обычно достаточно знать направление Х(х). Это направление постоянно на изоклинах уравнения (2.7). Особенно интересны точки, где обращается в нуль или в бесконечность, т. е. изоклины, где или .
Если для любой точки и любого существует единственное решение x(t) уравнения такое, что
то через каждую точку проходит в точности одна траектория. Если же возникает неединственность, то обычно она бывает сосредоточена на некоторых линиях в S, и только в их окрестности поведение траекторий не сразу можно определить по виду функции.
)Будем решать систему
,
записав ее в виде уравнения
(2.8)
т.е. .
Это уравнение является однородным. Чтобы привести его к уравнению с разделяющимися переменными, сделаем замену:
Тогда наше уравнение примет вид:
,
преобразуя его, получим
Следовательно
(2.9)
где не решение, а и решения уравнения. Траектории, лежащие на прямых и , проходят через особую точку системы (0,0).
Проинтегрировав уравнение (2.9), имеем
откуда, возвращаясь к переменным , найдем общий интеграл
уравнения (2.8)
Две траектории, которые лежат на прямой стремятся к особой точке (0,0), а все остальные от нее рано или поздно уходят.
При рассмотрении следующей системы уравнений, воспользуемся методом изоклин.
)Систему уравнений
запишем в виде
(2.10)
Интегральные кривые имеют наклон в точках пересечения с кривой
.
А множество изоклин, которое получается, когда мы придаем с различные действительные значения, - это семейство парабол:
и прямая .
Некоторые из этих изоклин изображены на рисунке 2.9 красным цветом.
А угол наклона касательных к интегральным кривым найдем из формулы:
Получается при
при
.
Особой точкой уравнения является точка(0,0)
Используя достаточно густое семейство изоклин, мы может получить отчетливое представление о траекториях уравнения (2.10). Одна траектория (лежащая на прямой ) стремится к особой точке, а все остальные от нее уходят.
Эти примеры показывают, что качественно различные решения приводят к траекториям с различными геометрическими свойствами. Проблема выделения различных видов особых точек сводится к проблеме выделения различных геометрических конфигураций, составленных траекториями. Здесь показано только несколько фазовых портретов на плоскости, имеющих одну особую точку.
3ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
Определение 1. Система , называется линейной системой размерности n, если отображение линейно. Для линейных систем существует только конечное число качественно различных фазовых портретов. Чтобы установить это, надо рассмотреть, как на такую систему влияет линейная замена переменных.
3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ
Линейное отображение: ,
можно записать в матричной форме:
Соответственно дифференциальное уравнение принимает вид
(3.1)
Где A- матрица коэффициентов. Каждая компонента производной является линейной функцией переменных . Эти переменные являются просто координатами точки относительно базиса в , где .
Следовательно,
Чтобы сделать заме