Построение краткосрочного прогноза в рамках адаптивной модели
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
?о шума:
В согласии с п. 1.4.3, процесс (37) может быть стационарным, только если все корни характеристического многочлена по абсолютному значению меньше единицы.
Формулы, выражающие автоковариацию и автокорреляцию стационарного случайного процесса (37) через коэффициенты и , выглядят сложно и мы их не приводим. Скажем только, что для k>q автокорреляция k>q процесса (37) удовлетворяет тем же уравнениям Юла-Уолкера, что уже были получены для процесса AR(p):
для всех
Поэтому при больших k автокорреляция rk процесса ARMA(p, q) приобретает такую же форму, как и у процесса AR(p). Прежде чем приступить к оцениванию параметров в (37) по наблюдаемому участку траектории X, надо прежде выбрать порядок (р, q) модели ARMA(p, q). Для такого выбора редко когда есть теоретические основания. Обычно решение принимают, руководствуясь формой выборочной автокорреляционной функции , выборочной частной автокорреляционной функцией , и естественным стремлением иметь модель наиболее простого вида. На практике выделяют пять основных классов моделей[6]:
) модель AR(1) (один параметр авторегрессии): автокорреляционная функция экспоненциально затухает; частная автокорреляционная функция имеет выброс на поправке 1 (нет корреляций для других задержек);
) модель AR(2) (два параметра авторегрессии): автокорреляционная функция имеет форму затухающей синусоидальной волны или экспоненциально затухает; частная автокорреляционная функция имеет выброс только для сдвигов 1 и 2 (значения для остальных задержек нулевые);
) модель МА(1) (один параметр скользящего среднего): автокорреляционная функция имеет выброс на сдвиге 1 (остальные значения нулевые); частная автокорреляционная функция экспоненциально затухает - либо монотонно, либо осциллируя, т.е. меняя знак;
) модель МА(2) (два параметра скользящего среднего): автокорреляционная функция имеет выбросы на сдвигах 1 и 2 (остальные значения нулевые); частная автокорреляционная функция имеет форму синусоидальной волны или экспоненциально затухает;
) модель ARMA(1,1) (один параметр авторегрессии и один параметр скользящего среднего): автокорреляционная функция экспоненциально затухает, начиная с первой задержки (первое значение ненулевое), затухание может быть монотонное и колебательное; в частной автокорреляционной функции преобладает затухающий экспоненциальный член, либо монотонный, либо осциллирующий (первое значение ненулевое).
После того, как модель идентифицирована, переходят к оценке ее параметров. Оценивание коэффициентов и , представляет сложную задачу. Многие статистические пакеты прикладных программ содержат алгоритмы для ее решения. Мы не будем касаться подробностей. Заметим, что задача оценивания не всегда разрешима. Рассмотрим, например, процесс ARMA(1, 1), где
Здесь, если , решением X(t) служит , и значения и не оказывают на процесс X(t) никакого влияния. Поэтому они и не могут быть определены по траектории.
.5 Критерий точности и надежности прогнозов
Точность и надежность прогнозов - широко распространенные в прогностической литературе термины, смысл которых, как это представляется на первый взгляд, вполне очевиден. Однако содержание этих терминов часто толкуется достаточно субъективно. Нередки случаи, когда одно понятие подменяется другим. О точности прогноза принято судить по величине погрешности (ошибки) прогноза - разности между прогнозируемым и фактическим значением (реализацией) исследуемой переменной. Однако такой подход к оценке точности возможен только в двух случаях. Во-первых, когда период упреждения уже окончился и исследователь имеет фактические значения переменной. При краткосрочном прогнозировании это вполне реально. Во-вторых, когда прогноз разрабатывается ретроспективно, т. е. прогнозирование осуществляется для некоторого момента времени в прошлом, для которого уже имеются фактические данные. При этом имеющаяся информация делится на две части. Одна из них, охватывающая более ранние данные, служит для оценивания параметров прогностической модели, а более поздние данные рассматриваются как реализации соответствующих прогностических оценок. Полученные ретроспективно ошибки прогноза в какой-то мере характеризуют точность примененной методики прогнозирования и могут оказаться полезными при сопоставлении нескольких методов. В то же время, величину ошибки ретроспективного прогноза нельзя рассматривать как окончательное доказательство пригодности или, наоборот, непригодности применяемого метода прогнозирования. К ней следует относиться с известной осторожностью и при ее применении в качестве меры точности необходимо учитывать, что она получена при использовании лишь части имеющихся данных. Однако эта мера точности обладает большей наглядностью и уж во всяком случае, теоретически более надежна, чем погрешность прогноза, исчисленная для периода, характеристики которого уже были использованы при оценивании параметров модели. В последнем случае погрешности, как правило, будут незначительны и мало зависимы от теоретической обоснованности, примененной для прогнозирования модели. Точность же прогнозов будет преувеличенной и в известном смысле иллюзорной. В связи с проверкой точности прогнозов необходимо сделать еще одно замечание. Так, если для ретроспективного прогнозирования применяется модель, содержащая одну или несколько экзогенных переменных, то точность прогноза будет в значительной мере зависеть от того, насколько точно определены з?/p>