Построение краткосрочного прогноза в рамках адаптивной модели
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
?д
(19)
Заметим, что последовательности (18) и (19) неограниченно возрастают с ростом k, если хотя бы одно из чисел превосходит 1. Поскольку -коэффициент корреляции, и не может превосходить по модулю 1, необходимо, чтобы .Более аккуратный анализ показывает, что если X(t) - стационарная последовательность, не являющаяся постоянной, то
(20)
Последнее условие - не только необходимое следствие стационарности X(t), но и достаточное: если выполнено (20), то существует стационарная последовательность X(t), удовлетворяющая (16).
Формулы (18), (19) указывают общее решение уравнения (16). Чтобы полностью задать автокорреляционную функцию rk стационарного процесса AR(2), надо еще правильно подобрать значения неопределенных коэффициентов .
Начнем со случая, когда корни - действительные числа. В этом случае надо взять такие действительные числа чтобы выполнялись соотношения (см. (14)).
(21)При таком выборе формулы (18), (19) дают явное выражение для rk при любом . Корни уравнения (17) могут быть и комплексными (комплексно-сопряженными) числами. В этом случае надо дополнительно позаботиться о том, чтобы формула (18) при всяком k определяла бы действительное значение для автокорреляции rk, . Для этого числа следует взять тоже комплексными и сопряженными. При таком выборе выражение (18) преобразуется так, что в нем участвуют только действительные числа и действительные функции переменного k:
(22)
Действительные числа b и f определяются значениями . Роль неопределенных параметров в (22), которые надо подбирать, играют и . Для того, чтобы получить окончательную формулу для rk, их надо выбрать с помощью условия (21). Видно, что формула (22) задает экспоненциально затухающую синусоиду. Условие стационарности (20) можно выписать в явном виде через значения коэффициентов и AR(2) процесса. Для этого надо записать значения . в виде корней квадратного уравнения (17) через и . Решение получаемых таким образом неравенств приводит к указанным в (13) условиям для и .
Определение. Процесс авторегрессии второго порядка с ненулевым средним определяют соотношением
Здесь .
Также как и ранее учитывая стационарность рассматриваемого процесса, в качестве оценки можно взять , где .
Оценки и можно получить из (15), заменяя истинные значения их выборочными оценками и :
(23)
Для оценки дисперсии белого шума может быть использована остаточная сумма квадратов S, а именно:
(24)
Откуда получаем:
(25)
где значение знаменателя в (25) получено уменьшением исходного числа слагаемых в (24) на 3, за счет оценки параметров и .
1.4.3 Авторегрессия порядка р - AR(p)
Выше для простейших моделей авторегрессии были довольно подробно выведены и разобраны их свойства. В этом пункте мы приведем без доказательства сводку основных результатов, касающихся AR(p) процессов.
Определение. Случайный процесс X(t) со средним значением называется процессом авторегрессии порядка р или кратко AR(p), если для него выполняется соотношение:
(26)
Поведение автокорреляционной функции АR(р) процесса. По аналогии с тем, как мы поступали с AR(2) процессом, рассмотрим корреляцию между X(t) и X(t-k). Получаем:
(27)
Укажем общее решение уравнения (27) относительно . Оно задается с помощью корней характеристического уравнения:
Пусть - корни этого уравнения, которые мы предполагаем различными. Так же, как и в случае AR(2) процесса общее решение системы разностных уравнений (27) относительно может быть записано в виде:
Из требования стационарности AR(p) процесса вытекает, что все . Рассмотрим возможное поведение автокорреляционной функции в случае несовпадающих корней . При этом возможны два случая.
. Корень вещественный. При этом член экспоненциально затухает с ростом k.
. Пара корней - комплексно-сопряженные числа. Как и в случае AR(2), они вносят в rk слагаемые типа которые являются экспоненциально затухающими синусоидами.
Таким образом, в общем случае автокорреляционная функция стационарного AR процесса является суммой затухающих экспонент и затухающих синусоидальных волн.
Оценим коэффициенты AR(p) процесса. Рассмотрим выражение (27) для значений . При этом мы получим систему уравнений Юла-Уолкера (аналогичную (14) для AR(2) процесса).
(28)
Решая эту систему относительно неизвестных значений параметров и подставляя вместо неизвестных значений их оценки по наблюденному временному ряду, получаем искомые оценки коэффициентов AR(p) модели.
Частная автокорреляционная функция (ЧАКФ) полезна, когда по наблюденному отрезку временного ряда мы пытаемся подобрать для его описания подходящую ARMA-модель. Подобно автокорреляционной функции, ЧАКФ определяется для каждого натурального k и представляет собой бесконечную последовательность. Ее элементы мы обозначим через , Определение ЧАКФ и ее значений тесно связано с AR(p) моделями. Дадим определение для произвольного р. Систему уравнений Юла-Уолкера (28) можно формально рассмотреть как систему уравнений, связывающих неизвестные со значениями автокорреляции . Эта система - линейная; при заданных она легко может быть решена численно. Пусть - решение системы (28). Из этого набора чисел нам нужно всего одно число, а именно . По определению, мы полагаем значением ЧАКФ при k=p.
С уравнениями Юла-Уолкера и их решениями для мы уже встречались в п. 1.4.1 и 1.4.2. По результатам этих подразделов мы можем найти при :
(29)