Построение краткосрочного прогноза в рамках адаптивной модели
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
статочной последовательности ряда обозначим через р. Подсчитано, что р=333. В случайной выборке математическое ожидание числа точек поворота и дисперсия находятся по формулам:
(40)(41)
Критерием случайности с 5%-ным уровнем значимости, т. е. с доверительной вероятностью 95%, является выполнение неравенств
(42)
где квадратные скобки означают, целую часть числа. Если это неравенство нарушается, то гипотеза о случайном характере остаточной компоненты отвергается и, следовательно, модель признается неадекватной. Так как , то гипотеза о случайности остатков не отвергается, т.е. не противоречит опытным данным.
.6.2 Проверка соответствия остатков нормальному закону распределения
Предположение о нормальности остатков может быть проверено с помощью нормального вероятностного графика. Стандартный нормальный вероятностный график строится следующим образом. Вначале происходит упорядочение отклонений от соответствующих средних (остатков). По этим рангам вычисляются z значения (стандартизованные значения нормального распределения), z значения откладываются на оси Y. Если наблюдаемые значения (отложенные по оси X) нормально распределены, то все значения попадут на прямую линию. Если распределение отлично от нормального, то на графике будет наблюдаться отклонение от прямой. На рисунке 9 видно, что значения остатков достаточно хорошо ложатся на прямую.
Рисунок 9 - График остатков ARIMA(1,1,0) на нормальной вероятностной бумаге
Гистограмма остатков с наложенной нормальной плотностью, показанная на рисунке 10, также служит визуальным подтверждением нормальности остатков.
Рисунок 10 - Гистограмма остатков ARIMA(1,1,0) с наложенной нормальной плотностью
Проверка нормальности остатков так же может быть произведена приближенно с помощью показателей асимметрии и эксцесса . Для нормального распределения эти показатели равны нулю.
Выборочные характеристики асимметрии (Skewness) и эксцесса (Kurtosis) и их ошибки (см. таблицу 4.):
Т.к. одновременно выполняются следующие неравенства[17]
(43)то гипотеза о нормальном характере распределения остатков не отклоняется.
Таблица 4 - Основные описательные статистики остатков ряда
Descriptive StatisticsValid NMeanStd.Dev.Std.Err. MeanSkewnessStd.Err. SkewnessKurtosisStd.Err. KurtosisMAX ARIMA (1,1,0) residuals5030,138410,05260,4482-0,32440,10890,650440,2174
Существует ряд других критериев проверки нормального характера распределения (например, критерий Колмогорова-Смирнова или W критерий Шапиро-Уилка).
В критерии Колмогорова-Смирнова сравниваются две эмпирические функции распре деления[18] . Проверяема нулевая гипотеза имеет вид против конкурирующей , где F(x) - эмпирическая функция распределения остатков, a Fnorm(x) - известная функция нормального распределения. Определяется мера расхождения между этими функциями
D=max|F(x)-Fnorm(x)|(44)
называемая статистикой критерия Колмогорова-Смирнова. Если вычисленное значение
(45)
окажется больше критического а, определенного на уровне значимости , то нулевая гипотеза отвергается. В данном случае =1.03 меньше табличных значений 1.07 и 1.36 для уровней значимости 0.2 и 0.05 соответственно. Следовательно, гипотеза о том, что остаточная последовательность имеет нормальный закон распределения, не противоречит опытным данным. D-статистика не является значимой (см. таблицу 5.) для принятия конкурирующей гипотезы.
Таблица 5 - Результаты теста Калмогорова-Смирнова
Kolmogorov-Smirnov Test (Mean & standard deviation known)MAX ARIMA( 1,1,0) residualsNmax Dp5030,0458p>20
2.6.3 Проверка равенства нулю математического ожидания остатков
Проверка равенства мат. ожидания случайной остаточной компоненты нулю, если она распределена по нормальному закону распределения, осуществляется на основе t-критерия Стьюдента[3]. Расчетное значение этого критерия задается формулой
(46)
где -среднее арифметическое значение уровней остаточной последовательности et, - стандартное (среднеквадратическое) отклонение для этой последовательности (см. таблицу 4). Если расчетное значение t меньше табличного значения статистики Стьюдента с заданным уровнем значимости и числом степеней свободы n-1, то гипотеза о равенстве нулю математического ожидания случайной последовательности принимается; в противном случае эта гипотеза отвергается и модель считается неадекватной. Т. к. t=0,3087<t0.05;.502 =1,96, то гипотеза принимается.
2.6.4 Проверка независимости значений уровней остаточной компоненты
Рассмотрим графики автокорреляций и частных автокорреляций остатков ряда (см. рисунок 11 и рисунок 12).
Рисунок 11 - Автокорреляционная функция остатков ряда
Видим, что остатки в данном случае достаточно слабо коррелированны, не выходят за пределы диапазона двух стандартных ошибок. Для, проверки гипотезы об отсутствии существенной автокорреляции воспользуемся d-критерием Дарбина-Уотсона. Расчетное значение критерия[18].
(47)
Рисунок 12 - Частная автокорреляционная функция остатков ряда
Согласно критерию при отсутствии автокорреляции . Табличные значения d-статистик для р=1 (число объясняющих переменных) и n=503 5% значимостью равны: dH=1.76 и dB=1.78. Т. к.
d=1.98>dB=1.78(48)
то гипотеза о независимости уровней остаточной последовательности, т.е. об отсутствии в ней автокорреляции, принимается (точнее сказать не отвергается).
Таким образом, указанные выше четыре проверки свойств остаточной компоненты дают положительный ?/p>