Построение краткосрочного прогноза в рамках адаптивной модели
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
?езультат, и мы можем сделать вывод об адекватности построенной модели. Можно утверждать, что полученные остатки ряда ведут себя как белый шум. Процесс подбора модели можно считать завершенным.
.7 Проверка значимости и точности модели
Проверим значимость уравнения с помощью критерия Фишера. Проверить значимость, значит, установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными экспериментальным данным[19].
Проверка значимости проводится на основе дисперсионного анализа, согласно основной идеи которого
Q=QR+Qe(49)
где
(50)
общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от средней;
(51)
остаточная сумма квадратов, характеризующая влияние неучтенных факторов;
(52)
сумма квадратов, обусловленная моделью.
Построенное уравнение значимо на уровне , если фактически наблюдаемое значение статистики больше табличного значения:
(53)
где - табличное значение F- критерия Фишера-Снедекора, определенное на уровне значимости при kl=l и k2=n-l степенях свободы. В нашем случае: Q=2041009; Qe=50739.1; QR=1990270; n=503. Так как
F=19691.2F005;1,502=3.84(54)
то уравнение модели значимо.
Для характеристики точности модели воспользуемся показателем средней относительной ошибки аппроксимации:
(55)
Ошибка менее 5% свидетельствует об удовлетворительном уровне точности.
Коэффициент детерминации найдем по формуле:
(56)
Т.е. построенная модель объясняет изменчивость данных на 97%. В целом модель довольно хорошая и можно прейти к следующему этапу.
2.8 Построение прогноза и оценка его точности
Построив прогноз на три шага вперед, мы получаем результаты, отраженные в таблице 6.
Таблица 6. Результаты прогнозирования максимальной цены на три шага вперед
Forecasts; Model:(l,l,0) Seasonal lag: 12 Input: MAX Start of origin: 1 End of origin: 504ForecastLower 90%Upper 90%Std.Err.505 506 507538,8067 539,2413 539,3042522,2392 514,0608 507,5728555,3742 564,4218 571,035510,0538 15,2804 19,2557
В первом столбце даны значения прогнозов, далее - нижняя граница доверительного 90% интервала, верхняя граница, стандартная ошибка. Стандартные ошибки на порядок меньше соответствующих точечных и интервальных прогнозов. Это свидетельствует о том, что надежность прогноза достаточно высокая.
Сравним прогнозные значения с фактическими (см. таблица 7). Все значения фактической цены попадают в соответствующие доверительные интервалы. Чем дальше прогнозное значение от последнего уровня исследуемого ряда, тем шире доверительный интервал, т. к. растет степень неопределенности. Ближайшее будущее с точки зрения модели намного более определенно. Границы доверительного интервала важны. Их можно использовать, например, для оценки риска при принятии решения на основе прогноза. Рассчитать риск от неправильного принятия решения.
Показатели точности модели рассчитываются на основе всех уровней временного ряда и поэтому отражают лишь точность аппроксимации. Для оценки прогнозных свойств модели используют те же формулы, но суммирование ведется предсказанным наблюдениям. Средняя относительная ошибка прогноза составляет 0.68%, а среднеквадратическое отклонение равно 5.92, коэффициент расхождения v=0.008 (см.(38)). Таким образом, построенная модель вида (39) чрезвычайно оптимистично оценивает надежность прогноза на одну точку вперед. В первую очередь это связано с предположением о характере тренда, который мы определили как линейный.
Таблица 7 - Анализ прогноза максимального курса, построенного на модели ARIMA(1,1,0)
ДатаЦенаПрогнозНиж. гр. 90%Верх.гр. 90%Ширина довер.интАбс.ошибка прогнозаСр.отн. ошибкаСр.кв откл19.03.11 22.03.11 23.03.11542 546,98 539,5538,81 539,24 539,30522,24 514,06 507,57555,37 564,42 571,0433,14 50,36 63,463,19 7,74 0,200,685,92
.9 Анализ результатов
Идентификация является достаточно грубой процедурой, в которой получают прикидочные значения порядка модели. Критерии носят достаточно расплывчатый характер, возможно, с их помощью может быть идентифицирована не одна модель. Наличие нескольких подходящих моделей не следует рассматривать как фатальную ошибку, а как нормальный поисковый результат.
Ранее мы определили, что порядок разности d равен единице. Исходя из графических соображений, установили, что ряд вторых разностей является передифференцированным, и в качестве первого приближения посчитали подходящей производную первого порядка. Для того чтобы убедиться в правильности принятого решения рассмотрим случай, когда d=2.
Так как для ряда вторых разностей выборочная автокорреляционная функция имеет отрицательный выброс на первой поправке и остальные значения не значимы, а выборочная частная автокорреляционная функция экспоненциально затухает, то согласно критерию 3) из п. 1.4.5. идентифицируем модель как ARIMA(0,2,1):
(57)
Результаты оценивания (см. таблицу Б.1) свидетельствуют о высокой значимости параметра скользящего среднего q(l): узкий доверительный интервал (равен 0.02), стандартная ошибка на два порядка меньше оцениваемой величины, значение t-критерия много больше табличного (165.351.96). Единственным отрицательным моментом является то, что значение параметра (0.98) очень близко к единице. Проверка адекватности модели (таблица Б.2) дала следующие результаты: остатки независимы (р=324>[314.85]=315), распределены приблизительно нормально (см. рисунок Б.3) с математическим ожиданием равным нулю (t=1.61<t005;502=1.96), однако уровни остаточной компоненты не являются независимыми(см. рисунок Б.3 и рисунок Б