Учебное пособие Санкт-Петербург 2007 Составила: Зуева Т. В. Ст методист: Регель Н. И. Пособие предназначено для изучения соответствующих разделов дисциплин «Математика» и«Элементы высшей математики»

Вид материала

Учебное пособие

Содержание Лекция 7.Метод обращения матрицы при помощи союзной.Матричные уравнения Операция нахождения обратной матрицы

Подобный материал:

• Учебное пособие Санкт-Петербург 2009 удк 802., 485.15kb.
• Учебное пособие тверь 2008 удк 519. 876 (075. 8 + 338 (075. 8) Ббк 3817я731-1 + 450., 2962.9kb.
• Учебное пособие Санкт-Петербург 2007 удк алексеева С. Ф., Большаков В. И. Информационные, 1372.56kb.
• Учебное пособие санкт-петербург 2005 удк 339. 9 (075. 80) Ббк, 703.64kb.
• Учебное пособие Нижний Новгород 2007 Балонова М. Г. Искусство и его роль в жизни общества:, 627.43kb.
• Учебное пособие санкт-петербург 2 004 удк 669. 2/8; 669. 4 (075. 80) Ббк 34., 990.55kb.
• Учебное пособие Санкт-Петербург 2011 удк 621. 38. 049. 77(075) Поляков, 643.33kb.
• Н. В. Кацерикова ресторанное дело учебное пособие, 1607.02kb.
• Учебное пособие для студентов заочной формы обучения Санкт-Петербург, 1247.83kb.
• Предлагаемое учебное пособие предназначено для студентов, аспирантов и преподавателей, 2052.38kb.

Лекция 7.
Метод обращения матрицы при помощи союзной.
Матричные уравнения

Матрица А- квадратная называется невырожденной, если ΔА0.

Каждой квадратной невырожденной матрице А соответствует обратная матрица А^-1 такая что, АА^-1=А^-1А=Е

Дана матрица

А=	а11	а12	…	а1n	- квадратная
	а21	а22	…	а2n
	…………………
	аn1	аn2	…	аnn

ΔА0, А- невырожденная матрица.

Союзной матрицей Ã для матрицы А называется квадратная матрица n-ного порядка, составленная из алгебраических дополнений А_ij элементов а_ij матрицы А с последующим транспонированием

Ã=				Т
	А11	А12	…	А1n	=	А11	А21	: : : :	An1
	А21	А22	…	А2n		А12	А22		An2
	……………………….					…	…		…
	An1	An2	…	Ann		А1n	А2n		Ann

Умножим А на Ã (или Ã на А)

А Ã=	а11А11+а12А12+…+а1nA1n	а11А21+а12А22+…+а1nA2n	…	а11Аn1+а12Аn2+…+а1nAnn	=
	а21А11+а22А12+…+а2nA1n	а21А21+а22А22+…+а2nA2n	…	а21Аn1+а22Аn2+…+а2nAnn
	…………………………………………………………………………………………….
	аn1А11+аn2А12+…+аnnA1n	аn1А21+аn2А22+…+аnnA2n		аn1Аn1+аn2Аn2+…+аnnAnn

=		0	…	0	=	1	0	...	0	=Е
	0		…	0		0	1	…	0
	………………					………………..
	0	0	…			0	0	…	1

Все диагональные элементы АÃ – алгебраические суммы произведений элементов i-строки на алгебраическое дополнение элементов этой же строки – это определитель матрицы А. Остальные элементы равны 0 (по свойству 7).

Таким образом, получилось равенство:

А Ã=Е 1/

Умножим правую и левую часть равенства на 1/. Получим:

А( 1/ Ã)=Е

АА^-1=Е, следовательно

А^-1=(1/)Ã, т.к. 0, то А^-1 существует и равна союзной матрице, умноженной на α= 1/.

Операция нахождения обратной матрицы называется обращением.

Обратить матрицу А и сделать проверку.

	3	4	-8
А=	4	-9	-1	, вычислим ΔА= -237
	2	-3	4

	-39	8	-76		-39	8	-76
Составим Ã=	-18	28	-29	, А-1=(1/237)	-18	28	-29
	6	17	-43		6	17	-43

Проверка.

При проверке должно выполнятся равенство АА^-1 = А^-1А = Е

Проверим, например,

	-39	8	-76		3	4	-8
АА-1=- (1/237)	-18	28	-29		4	-9	-1	=
	6	17	-43		2	-3	4

	-237	0	0		1	0	0
= - 1/237	0	-237	0	=	0	1	0
	0	0	-237		0	0	1