Geum.ru

Учебное пособие Санкт-Петербург 2007 Составила: Зуева Т. В. Ст методист: Регель Н. И. Пособие предназначено для изучения соответствующих разделов дисциплин «Математика» и«Элементы высшей математики»

Вид материалаУчебное пособие

Содержание


Лекция 9. Минор к-го порядка. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы Минор к-го порядка
Ранг матрицы. Вычисление рангов
Метод вычисления ранга
Подобный материал:
1   ...   10   11   12   13   14   15   16   17   ...   21

Лекция 9.
Минор к-го порядка. Ранг матрицы.
Вычисление ранга матрицы

Минор к-го порядка


Рассмотрим матрицу А=[аij]mn
а11
а12
...
а1к
а1,к+1
:

:

:

:

:
а1n

А=
а21
а22
...
а2к
а2,к+1
a2n

...
...
Мк
...
...
...

ак1
ак2
...
акк
ак,к+1
akn

ак+1,1
ак+1,2
...
ак+1,к
ак+1,к+1
ak+1,n

..........................................................................

аm1
аm2
...
аmк
аm,к+1
:
amn


Вычеркнем произвольно к строк и к столбцов (для определенности изложения – пусть это будут первые к строк и первые к столбцов).

На пересечении вычеркнутых к строк и к столбцов стоит таблица, соответствующая определителю к-го порядка. Такой определитель к-го порядка будем называть минором к-го порядка и обозначать Мк.

Максимальный порядок Мк, который может быть вычеркнут в матрице А mn, очевидно, равен m, если mn.

Ранг матрицы. Вычисление рангов


Рангом матрицы называется максимальный порядок отличных от нуля миноров Мк.

Дана матрица А=[аij]mn. Ее ранг r может быть вычислен перебором всех возможных Мк, начиная с М1 до Мк. Если хотя бы один Мк0, а Мк+1 все равны «0», то ранг матрицы равен r = k.

Если хотя бы один Мк+10, а Мк+2 все равны «0», то r = к + 1 и т.д.

Очевидно, что r = 0 матрицы, состоящей из одних нулей, и r = 1 матрицы, у которой один элемент не равен 0.

Метод вычисления ранга матрицы, вычисляя миноры, начиная с младшего порядка к старшему, называется метод окаймления.

Познакомимся с этим методом на примере.

Пример:
1
2
3
-1

А=
2
4
6
-2




-2
-4
-6
3













34

Максимальный порядок Мк, который может быть вычеркнут в этой таблице, очевидно, М3. Таких миноров - три. Если хотя бы один из них не равен 0, то ранг матрицы r(А)=3. Если они все равны 0, то необходимо перебрать все М2, которые содержатся в этой матрице, и т.д. Данный путь предполагает перебрать все Мк, начиная со старшего порядка.

Так делать можно, но это довольно длинный алгоритм.

Выберем любой элемент матрицы, отличный от 0, например, а11=1. Этот элемент может быть рассмотрен как М10.

Окаймляющий М1 минор М2=
1
2
=0.

2
4

Так как этот минор равен «0», то не будем его в дальнейшем рассматривать.

Будем двигаться по строке и выберем элемент а12=2, считая его как еще один М10. Окаймляющий его минор М2 слева мы уже рассматривали,

справа М2=
2
3
=0

4
6


Опять двинемся вправо по первой строке: а13=3 и а13=М10,

окаймляющий его справа М2=
3
-1
=0.

6
-2

Все М2, содержащиеся в 1–й и 2–й строке, равны 0. Будем рассматривать 2–ю строку и окаймляющие миноры М2, содержащиеся во 2–й и 3–й строках.

Видно, что а23=М1, окаймляющий его М2=
6
-2
= 6  0. Тогда,

-6
3

найдем окаймляющий его минор 3–го порядка.




2
3
-1



Окаймляющий его М3=
4
6
-2
=0, следовательно,




-4
-6
3



максимальный порядок минора – второй, тогда r(А) = 2.

Этот метод довольно громоздок и часто труден для применения на практике. Чаще используется на практике метод вычисления ранга матрицы с использованием линейных преобразований над строками и столбцами.

К линейным преобразованиям относятся:
  1. Вынесение общего множителя из некоторой строки (или столбца)
  2. Сложение элементов любой строки (или столбца) с соответствующими элементами другой строки (или другого столбца) умноженные на некоторый коэффициент.

Познакомимся с этим методом на примере.

Пример:

Вычислить ранг А.
1
-4
2
0
-1

А=
2
-3
-1
-5
-7




3
-7
1
-5
-8

Выберем любой элемент, не равный 0, и назовем его условно главным элементом. Например, а11=1. Пусть 1–й столбец, в котором стоит этот элемент, будет главным. Тогда, подбирая соответствующие коэффициенты и складывая с соответствующими элементами других столбцов, добьемся обнуления элементов 1–й строки:

1
-4
2
0
-1
˜
1
0
0
0
0
˜

2
-3
-1
-5
-7
2
5
-5
-5
-5

3
-7
1
-5
-8
3
5
-5
-5
-5

Теперь, если а11 еще раз выбрать «главным», но теперь уже в 1–й строке, то элементы 1–го обнулятся автоматически, не изменяя элементов 2–й и 3–й строк, соответствующих нулевым:




˜
1
0
0
0
0
˜

0
5
-5
-5
-5

0
5
-5
-5
-5

Вынесем общие множители из 2–го, 3–го, 4–го и 5–го столбцов

(5, -5, -5,-5). Эти множители можно не запоминать, т.к. нас интересует только порядок минора, не равного 0, а не величина, которой этот минор равен:




˜
1
0
0
0
0
˜

0
1
1
1
1

0
1
1
1
1

Пусть далее а22=1 будет главный. За счет этого элемента, выбранного главным в строке, а затем в столбце, обнулим элементы 3–й строки, а затем 3–го, 4–го и 5–го столбцов:




˜
1
0
0
0
0
˜
1
0
0
0
0
˜

0
1
1
1
1
0
1
0
0
0

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0



Вычеркнем все нулевые строки и столбцы:




˜
1
0
0
0
0
˜
1
0

0
1
0
0
0
0
1

0
0
0
0
0






Остался минор М20, следовательно, ранг А равен 2, r = 2.