Учебное пособие Санкт-Петербург 2007 Составила: Зуева Т. В. Ст методист: Регель Н. И. Пособие предназначено для изучения соответствующих разделов дисциплин «Математика» и«Элементы высшей математики»

Вид материала

Содержание

Лекция 8. Обращение матрицы с использованием алгоритма Гаусса

Подобный материал:

1 ... 9 10 11 12 13 14 15 16 ... 21

Лекция 8.
Обращение матрицы с использованием
алгоритма Гаусса

Метод обращения матриц при помощи союзной очень громоздок уже для матриц 4–го порядка, т.к. для нахождения союзной матрицы для матрицы 4–го порядка необходимо вычислить 16 определителей 3–го порядка, для нахождения союзной матрицы для матрицы 5–го порядка – 25 определителей 4–го порядка и т.д.

Известно, что обратная матрица существует у квадратной невырожденной матрицы и сама является квадратной невырожденной и того же порядка, что и исходная.

Имеем матрицу А=[a_ij]_n__m, А0

А=	а₁₁	а₁₂	…	а₁_n
	а₂₁	а₂₂	…	а₂_n
	…………………
	а_n₁	а_n₂	…	а_nn

Составим матрицу А^-1с неизвестными элементами х_ij.	Тогда А^-1=	х₁₁	х₁₂	…	х₁_n
		х₂₁	х₂₂	…	х₂_n
		................................
		х_n₁	х_n₂	…	х_nn

Причем, АА^-1= А^-1А = Е, где Е – единичная матрица того же порядка, что А и А^-1.

Тогда рассмотрим, например, равенство

АА^-1=Е

₁₁

а₁₂

…

а₁_n

х₁₁

х₁₂

…

х₁_n

...

а₂₁

а₂₂

…

а₂_n

х₂₁

х₂₂

…

х₂_n

...

…………………

..................................

.................................

а_n₁

а_n₂

…

а_nn

х_n₁

х_n₂

…

х_nn

...

По другому это равенство можно записать в виде n систем линейных уравнений относительно x_ij (i – номер системы), правые части которых j – столбцы матрицы Е.

a₁₁x_1j+a₁₂x_2j+...+a_1nx_nj= 1	0	: : : :	0
a₂₁x_1j+a₂₂x_2j+...+a_2nx_nj= 0	1		0
.........................................	..		..
a_n1x_1j+a_n2x_2j+...+a_nnx_nj= 0	0		1

Эти системы имеют один и тот же главный определитель (главную матрицу), но разные столбцы свободных членов, следовательно, их можно преобразовать к треугольному виду по алгоритму Гаусса одновременно с учетом правых частей.

Т

аким образом, обращая матрицу с использованием алгоритма Гаусса, можно сразу написать расширенную матрицу вида

а₁₁	а₁₂	…	а₁_n	1	0	:	0
а₂₁	а₂₂	…	а₂_n	0	1	:	0
…………………				:	:	:	:
а_n₁	а_n₂	…	а_nn	0	0	:	1

ассмотрим пример:

А=	1	2	3	4
	0	1	2	3
	0	0	1	2
	0	0	0	1

В этом примере матрица А является верхней треугольной, ее определитель  равен произведению элементов главной диагонали и =1. Следовательно, существует обратная А^-1.

З

апишем

1	2	3	4	1	0	0	0
0	1	2	3	0	1	0	0
0	0	1	2	0	0	1	0
0	0	0	1	0	0	0	1

А уже приведена к треугольному виду, следовательно, будем делать обратные преобразования Гаусса. Из последнего уравнения видно, что

х₄_j=0001, это означает, что

х₄₁= 0, х₄₂= 0, х₄₃= 0, х₄₄= 1.

Найденный х₄_j подставим в предпоследнее уравнение, получим

х₃_j + 2х₄_j=0010

или

х₃₁+2х₄₁=0

х₃₁+20=0

х₃₁=0;

х₃₂+2х₄₂=0

х₃₂+20=0

х₃₂=0;

х₃₃+2х₄₃=1

х₃₃+20=1

х₃₃=1;

х₃₄+2х₄₄=0

х₃₄+2=0

х₃₄= - 2

Аналогично, двигаясь снизу вверх, получим

x₂_j + 2x₃_j+ 3x₄_j= 0100

или

х₂₁+2х₃₁+3х₄₁= 0

х₂₁+20+30=0

х₂₁=0;

х₂₂+2х₃₂+3х₄₂=1

х₂₂+20+30=1

х₂₂=1;

х₂₃+2х₃₃+3х₄₃=0

х₂₃+21+30=0

х₂₃= - 2;

х₂₄+2х₃₄+3х₄₄=0

х₂₄+2(- 2)+31=0

х₂₄=1;

Далее

х₁_j+ 2x₂_j+ 3x₃_j+ 4x₄_j= 1000

или

х₁₁+2х₂₁+3х₃₁+4х₄₁=1

х₁₁+20+30+40=1

х₁₁=1;

х₁₂+2х₂₂+3х₃₂+4х₄₂=0

х₁₂+21+30+40=0

х₁₂= - 2;

х₁₃+2х₂₃+3х₃₃+4х₄₃=0

х₁₃+2( - 2)+31+40=0

х₁₃=1;

х₁₄+2х₂₄+3х₃₄+4х₄₄=0

х₁₄+21+3(-2)+41=0

х₁₄=0

Заполним обратную матрицу найденными x_ij

А^-1=	1	-2	1	0
	0	1	-2	1
	0	0	1	-2
	0	0	0	1

Сделаем проверку: умножим, например, А^-1А=Е

1	-2	1	0	1	2	3	4	=	1	0	0	0
0	1	-2	1	0	1	2	3		0	1	0	0
0	0	1	-2	0	0	1	2		0	0	1	0
0	0	0	1	0	0	0	1		0	0	0	1

Blog

Содержание

Лекция 8. Обращение матрицы с использованием алгоритма Гаусса

Лекция 8.
Обращение матрицы с использованием
алгоритма Гаусса