Учебное пособие Санкт-Петербург 2007 Составила: Зуева Т. В. Ст методист: Регель Н. И. Пособие предназначено для изучения соответствующих разделов дисциплин «Математика» и«Элементы высшей математики»

Вид материала

Учебное пособие

Содержание Лекция 10. Теорема Кронекера – Копелли. Решение произвольных системлинейных уравнений

Подобный материал:

• Учебное пособие Санкт-Петербург 2009 удк 802., 485.15kb.
• Учебное пособие тверь 2008 удк 519. 876 (075. 8 + 338 (075. 8) Ббк 3817я731-1 + 450., 2962.9kb.
• Учебное пособие Санкт-Петербург 2007 удк алексеева С. Ф., Большаков В. И. Информационные, 1372.56kb.
• Учебное пособие санкт-петербург 2005 удк 339. 9 (075. 80) Ббк, 703.64kb.
• Учебное пособие Нижний Новгород 2007 Балонова М. Г. Искусство и его роль в жизни общества:, 627.43kb.
• Учебное пособие санкт-петербург 2 004 удк 669. 2/8; 669. 4 (075. 80) Ббк 34., 990.55kb.
• Учебное пособие Санкт-Петербург 2011 удк 621. 38. 049. 77(075) Поляков, 643.33kb.
• Н. В. Кацерикова ресторанное дело учебное пособие, 1607.02kb.
• Учебное пособие для студентов заочной формы обучения Санкт-Петербург, 1247.83kb.
• Предлагаемое учебное пособие предназначено для студентов, аспирантов и преподавателей, 2052.38kb.

Лекция 10.
Теорема Кронекера – Копелли.
Решение произвольных систем
линейных уравнений

Произвольной системой линейных уравнений называется система следующего вида:

а₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n = b₁

(1) а₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n = b₂

………………………………………

а_m1x₁ + a_m2x₂ + … + a_mnx_n = b_m


Матрицей системы А называется матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных

А=	а11	а12	…	а1n
	а21	а22	…	а2n
	………………….
	аm1	аm2	…	аmn

Расширенной матрицей А системы называется матрица(АВ) – это матрица А, к которой добавлен столбец свободных членов:

А=	а11	а12	…	а1n	b1
	а21	а22	…	а2n	b2
	.........................................
	аm1	аm2	…	аmn	bm

Справедлива следующая теорема Кронекера – Копелли:

Система совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы.

Эта теорема лежит в основе методики исследования и нахождения решения произвольных систем.

Предположим, что rang(А)= rang(А)=r, т.е. система (1) совместна, тогда любой минор r-го порядка М_r0 может быть выбран в качестве базового минора.

Соответствующие ему неизвестные будут базовыми неизвестными, а оставшиеся неизвестные назовем свободными константами. Для определенности изложения, предположим, что М_r0 соответствует первым неизвестным: (х₁, х₂,..., х_r), которые, таким образом, являются базовыми, тогда (х_r+1, х_r+2,..., х_n) – свободные константы.

Перепишем систему (1) в соответствии с выбранным М_r

а₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1rx_r = b₁ - a_1,r+1x_r+1 - ... - a_1nx_n

(2) а₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2rx_r = b₂- a_2,r+1x_r+1 - ... – a_2nx_n

………………………………………

а_r1x₁ + a_r2x₂ + … + a_rrx_r = b_r- a_r,r+1x_r+1 - ... – a_rnx_n


Все уравнения, начиная с (r+1), откинуты, т.к. они являются линейными комбинациями первых r. Это стало известно после вычисления рангов А и А. Все свободные константы перенесены в правые части уравнений со своими коэффициентами с противоположными знаками.

Система (2) имеет основную матрицу или главный определитель =М_r0, следовательно, по правилу Крамера (2) совместна и имеет бесконечное множество решений, зависящих от свободных констант х_r+1=c₁, х_r+2=c₂,..., х_n=c_n-r.

Общее решение системы может быть записано в виде (3)

	x1=x(c1, c2,..., cn-r) /  1
	x2=x(c1, c2,..., cn-r) /  2
(3) ..............................................
	xr=x(c1, c2,..., cn-r) /  r
	хr+1=c1
	хr+2=c2
	.............................................
	хn=cn-r

Из общего решения (3) может быть получено любое частное. Для этого необходимо присвоить свободным константам с₁, с₂,..., с_n-r конкретные значения и вычислить х₁, х₂,..., х_r

Пример.

х1-4х2+2х3= - 1
2х1-3х2-х3-5х4= - 7
3х1-7х2+х3-5х4= - 8
	1	-4	2	0		1	-4	2	0	-1
rang	2	-3	-1	-5	=rang	2	-3	-1	-5	-7	=2
	3	-7	1	-5		3	-7	1	-5	-8

(проверить самостоятельно)

Следовательно, по теореме Кронекера – Копелли система совместна и ее решение может быть записано через любой базовый минор 2-го порядка, не равный 0. Например,

М2=	1	-4	=5
	2	-3

(минор находится в левом верхнем углу основной матрицы системы)

Выберем его в качестве базового минора. Тогда, неизвестные х₁ и х₂ – базовые, а х₃,х₄ – свободные константы.

Перепишем систему в соответствии с выбранным базовым минором:

х₁-4х₂ = -1 – 2х₃

2х₁-3х₂ = - 7 +х₃+5х₄

Вычислим добавочные определители при базовых неизвестных _х и _х :

^{1 2}

х= 1	-1 – 2х3		- 4	= 3+6х3-28+4х3+20х4=
	- 7 +х3+5х4		- 3
	= -25+10х3+20х4=-5(5-2х3-4х4)
х= 2	1	-1 – 2х3		=-7+х3+5х4+2+4х3=
	2	- 7 +х3+5х4
	=-5+5х3+5х4=- 5(1-х3-х4)

Общее решение

х1= х /=-5(5-2х3-4х4) / 5=-5+2х3+4х4 1

х2= х /=- 5(1-х3-х4) / 5=- 1+х3+х4 2

х3=с1

х4=с2

Найдем какое-нибудь частное решение. Положим, например, с₁ и с₂ – нули, тогда

х₁= -5

х₂= -1

х₃= 0

х₄= 0

Если с₁ и с₂ – какие-нибудь другие величины, то в соответствии со свободными константами.

Например:

х₁= -1

х₂= -1

х₃= 1

х₄= 1 и т.д.

Мы можем в качестве базового минора выбрать любой другой

М20. Например, М2=	2	0	= -10.
	1	-5

Этот минор соответствует х₃ и х₄ в 1-м и в 3-м уравнениях.

Тогда система будет

2х₃=-1-х₁+4х₂

х₃-5х₄=-8-3х₁+7х₂

х= 3	-1 – х1+4х2		0	= 5+5х1 +20х2=
	- 8 -3х1+7х2		-5
	= 5(1+х1+4х2)
х= 4	2	-1 – х1+4х2		=-16-6х1+14х2+1+х1-4х2=
	1	- 8 -3х1+7х2
	=-15-5х1+10х2=- 5(3+х1-2х2)

Общее решение при таких выбранных базовых неизвестных («в такой базе»):

х1=с1
х2=с2
	х3= х /=5(1+х1+4х2) / (-10)=-1/2(1+х1+4х2) 3
	х4= х /=- 5(3+х1-2х2) / (-10)=1/2(3+х1-2х2) 4

Если с₁ и с₂ – нули, то частное решение




х₁=0

х₂=0

х₃=-1/2

х₄=3/2

Из этого общего решения можно получить частное решение, полученное из любого другого, записанного «в любой другой базе».

Например,




х₁=-5

х₂=-1

х₃=0

х₄=0 может быть получено из последнего общего при х₁=-5, х₂=-1


х₁=-5

х₂=-1

х₃= -1/2(1-5+4)=0
х₄=1/2(3-5+2)=0