Учебное пособие Санкт-Петербург 2007 Составила: Зуева Т. В. Ст методист: Регель Н. И. Пособие предназначено для изучения соответствующих разделов дисциплин «Математика» и«Элементы высшей математики»

Вид материала

Учебное пособие

Содержание

Действия над матрицами
При умножении матрицы A = [ a
При умножении матрицы А на матрицу В

Подобный материал:

1 ... 6 7 8 9 10 11 12 13 ... 21

Действия над матрицами

Над матрицами можно производить следующие алгебраические действия:

сложение (вычитание);
умножение на число;
умножение матрицы на матрицу;
обращение квадратной матрицы.

Принято обозначать матрицы большими буквами латинского алфавита: A, B, C, …, X, Y; элементы матриц – малыми буквами латинского алфавита: a_ij, b_ij, c_ij,…, x_ij, y_ij; числа – малыми буквами греческого алфавита: α, β, …, χ.

Справедливо следующее утверждение:

Матрица A = [ a_ij]_m__n равна матрице B = [ b_ij]_m__n, если они одинакового размера и соответствующие элементы равны, т.е. a_ij₌ b_ij

Суммой матриц А+В называется

Матрица с элементами С_ij = a_ij + b_ij. Сложить можно матрицы только одинакового размера, при этом матрица – сумма имеет размер матриц А и В.

Например,

А =	1	2	3	, В =	-1	2	-3
	0	0	0		0	1	0

А + В =	0	4	0
	0	1	0

Сложение произведено поэлементно.

А – В =	2	0	6
А – В =	0	-1	0

Вычитание произведено поэлементно.

При умножении матрицы A = [ a_ij]_m__n на число α получается матрица αA = [ αa_ij]_m__n.

Другими словами, при умножении матрицы А на число α каждый элемент матрицы А умножается на это число α.

Н

апример,

А =	1	2	, α = 3
	4	5
	6	-7

αА =	3	6
	12	15
	18	-21

Очевидно что, если квадратную матрицу А_n__nумножить на число α, то определитель этой матрицы увеличится в αⁿ раз.

А=	а₁₁	а₁₂	…	а₁_n	, ΔА=Δ
	а₂₁	а₂₂	…	а₂_n
	……………………….
	а_n₁	а_n2	…	а_nn

αА=	αа₁₁	αа₁₂	…	αа₁_n	=αⁿ	а₁₁	а₁₂	…	а₁_n	αⁿΔ
	αа₂₁	αа₂₂	…	αа₂_n		а₂₁	а₂₂	…	а₂_n
	……………………….					…………………….
	αа_n₁	αа_n2	…	αа_nn		а_n₁	а_n2	…	а_nn

Справедливы следующие свойства сложения и умножения матрицы на число:

Коммутативность

А + В = В + А

Ассоциативность

(А + В) + С = А + (В + С)

Среди матриц одинакового размера имеется такая матрица, что

А+В=0,

где 0 – нулевая матрица (состоящая из одних нулей). Тогда

А= - В,

Матрица (-В) является противоположной для матрицы А, все элементы

b_ij = - a_ij

Дистрибутивность сложения относительно умножения матрицы на число

(λ + μ)А = λА + μА, а также λ(А + В) = λА + λВ

При умножении матрицы А на матрицу В

получается матрица АВ, при этом

A = [ a_ij]_m__q , B = [ b_ij]_q__n

AB = [ c_ij]_m__n.

Каждый элемент АВ c_ijполучается как алгебраическая сумма произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.