А. С. Гринберг О. Б. Плющ Б. В. Новыш Теория вероятностей и математическая статистика Курс лекций

Вид материала

Курс лекций

Содержание Простейшие свойства вероятностей Свойства условных вероятностей Формула полной вероятности. Формула Байеса Контрольные вопросы к теме №1

Подобный материал:

• Рабочая программа дисциплины "теория вероятностей и математическая статистика", 112.61kb.
• Конспект лекций по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика", 1417.24kb.
• Рабочая учебная программа дисциплины (модуля) Теория вероятностей и математическая, 217.23kb.
• Примерная программа наименование дисциплины «теория вероятностей и математическая статистика», 165.37kb.
• Рабочая программа учебной дисциплины теория вероятностей и математическая статистика, 830.1kb.
• Рабочая программа учебной дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика», 165.42kb.
• Программа курса лекций "Теория вероятностей и математическая статистика", 18.69kb.
• Примерная рабочая программа по дисциплине: «теория вероятностей, математическая статистика, 83.07kb.
• Программа по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов, 206.05kb.
• Программа дисциплины «теория вероятностей и математическая статистика» Для направления, 198.58kb.

Простейшие свойства вероятностей

1. ;
   
2. ;
   
3. ;
   
4. ;
   
5. ;
   

Свойства условных вероятностей

1. ;
   
2. ;
   
3. ;
   
4. если , то ;
   
5. ;
   
6. ;
   
7. ;
   
8. .
   

Формула полной вероятности. Формула Байеса

Предположим, что событие может произойти только с одним из несовместных событий . Например, в магазин поступает одна и та же продукция от трех предприятий и в разном количестве. Вероятность выпуска некачественной продукции на этих предприятиях различна. Случайным образом отбирается одно из изделий. Требуется определить вероятность того, что это изделие некачественное (событие ). Здесь события – это выбор изделия из продукции соответствующего предприятия.

В этом случае вероятность события можно рассматривать как сумму произведений событий .

По теореме сложения вероятностей несовместных событий получаем . Используя теорему умножения вероятностей, находим:

.

Полученная формула называется формулой полной вероятности.

Пусть событие происходит одновременно с одним из несовместных событий , вероятности которых () известны до опыта (вероятности априори). Производится опыт, в результате которого зарегистрировано появление события , причем известно, что это событие имело определенные условные вероятности (). Требуется найти вероятности событий , если известно, что событие произошло (вероятности апостериори).

Например, очевидно, следует отбросить гипотезы, отрицающие появление события . Вообще, проблема состоит в том, что, имея новую информацию, нужно переоценить вероятности событий .

На основании теоремы о вероятности произведения двух событий:

,

откуда:



или

.

Полученная формула носит название формулы Байеса.

Контрольные вопросы к теме №1

1. Понятия детерминированного и случайного экспериментов.
   
2. Понятие события, пространство элементарных событий.
   
3. Совместимые и несовместимые события.
   
4. Сумма и произведение событий.
   
5. Алгебра и –алгебра.
   
6. Разность и симметрическая разность событий.
   
7. Классическое определение вероятности.
   
8. Статистическое определение вероятности.
   
9. Геометрическая вероятность.
   
10. Невозможные и достоверные события и их вероятности.
    
11. Аксиомы теории вероятностей.
    
12. Понятие вероятности.
    
13. Понятие вероятностного пространства.
    
14. Понятие полной группы событий.
    
15. Условная вероятность и ее свойства.
    
16. Теоремы сложения вероятностей несовместных и совместных событий.
    
17. Зависимые и независимые события.
    
18. Простейшие свойства вероятностей.
    
19. Формула полной вероятности события.
    
20. Формула Байеса.