Конспект лекций по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика"
| Вид материала | Конспект |
- Рабочая учебная программа дисциплины (модуля) Теория вероятностей и математическая, 217.23kb.
- Примерная программа наименование дисциплины «теория вероятностей и математическая статистика», 165.37kb.
- Рабочая программа дисциплины "теория вероятностей и математическая статистика", 112.61kb.
- Рабочая программа учебной дисциплины теория вероятностей и математическая статистика, 830.1kb.
- Рабочая программа учебной дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика», 165.42kb.
- Программа курса лекций "Теория вероятностей и математическая статистика", 18.69kb.
- Примерная рабочая программа по дисциплине: «теория вероятностей, математическая статистика, 83.07kb.
- Программа по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов, 206.05kb.
- А. С. Гринберг О. Б. Плющ Б. В. Новыш Теория вероятностей и математическая статистика, 1813.61kb.
- Программа-минимум кандидатского экзамена по специальности, 37.75kb.
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ
по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика"
автор Василевич Л.Ф.
I. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Теория вероятностей - это математическая наука, изучающая закономерности в случайных событиях.
1. Основные понятия теории вероятностей. Алгебра случайных событий.
Случайное явление - это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и такого же опыта (испытания, эксперимента) протекает каждый раз несколько по иному.
Примеры случайных явлений: стрельба по цели; погода; продажа акций и др.
Случайным событием (далее просто событием) называется всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.
Примеры случайных событий:
1) опыт - бросание монеты; событие А - появление герба;
2) опыт - выстрел по мишени; событие B - попадание;
3) опыт - выявление спроса покупателей на какой-то товар; событие D - не менее 25% покупателей этот товар оценивают положительно.
Несколько событий в данном опыте образуют полную группу событий
, если в результате опыта должно появиться хотя бы одно из них.Примеры событий, образующих полную группу:
1) курс акций на следующей неделе "упадет", "возрастет", "останется прежним";
2) появление "1", "2", "3", "4", "5", "6" при бросании игральной кости;
Несколько событий в данном опыте называются несовместными, если никакие из них не могут появиться вместе.
Примеры несовместных событий:
1) "появление туза" и "появление десятки" при вынимании одной карты из колоды;
2) "покупательный спрос на
-ый товар" возрастает и "покупательский спрос на N-ый товар" уменьшится.Изображая случайное событие геометрическим множеством точек области
, то несовместные события A и B изобразятся непересекающимися подмножествами ( рис.1 ) Несколько событий в данном опыте называются совместными, если хотя бы два из них могут произойти одновременно (рис. 2)
Событие А называют следствием события В (В
А), если из появления события В следует появления события А (рис.3)Рис.3
Каждый из возможных взаимоисключающих исходов опыта
называют элементарным (неразложимым) событием. Из элементарных событий можно образовать составные (разложимые) события. Событие С называется составным, если можно указать по крайней мере два таких элементарных события и , что из осуществления каждого из них в отдельности следует факт осуществления события С.Пример: событие С "выпадение четного числа очков при однократном бросании игральной кости" - состоит из трех элементарных событий: "выпало 2", "выпало 4", "выпало 6".
Элементарные события, входящие в состав составного события, называются благоприятствующими.
Равновозможными событиями в данном опыте являются такие события, что по условиям симметрии есть основания считать, что ни одно из них не является объективно более возможным, чем другое.
Пример: выпадение каждой грани игральной кости.
Достоверное событие
определяется как событие, состоящее из всех возможных элементарных событий, т.е. в результате анализируемого случайного эксперимента обязательно произойдет одно из элементарных событий , I=1,2, ... , а следовательно, тот факт, что событие произойдет, достоверно.Невозможное (пустое) событие - это событие, не содержащее ни одного элементарного события
и, следовательно, при реализации исследуемого случайного эксперимента его осуществление невозможно.В теории вероятностей над событиями производят различные операции, тесно связанные с алгеброй логики. Основными операциями являются сумма (объединение), произведение (пересечение), разность и взятие дополнения.
Суммой или объединением событий А1, А2, ... Аn называется такое событие С ( С=
или С= ), которое состоит в осуществлении хотя бы одного из этих событий. Геометрическая интерпретация суммы событий показано на рис.4Рис.4
Пример: если опыт состоит из трех выстрелов по мишени, и даны события: "А0 - ни одного попадания", "А1 - ровно одно попадание", "А2 - ровно два попадания", "А3 - ровно три попадания", то С=А0+А1+А2 - есть событие "не более двух попаданий"; В=А2+А3 - "не менее двух попаданий".
Произведением или пересечением событий А1, А2, ... , Аn называется такое событие С ( С=
), которое состоит в обязательном совместном наступлении всех событий А1, А2, ... Аn. Геометрическая интерпретация произведения событий показано на рис.5.Рис.5
На языке элементарных событий произведение событий А1, А2, ... , Аn определяется как событие С , состоящее только из тех элементарных событий, которые одновременно входят во все рассматриваемые события.
Пример: покупается три лотерейных билета и рассматриваются события "В1 - первый билет без выигрыша", "В2 - второй билет без выигрыша", "В3 - третий билет без выигрыша", то событие В=В1В2В3 состоит в том, все три билета окажутся без выигрыша.
Операции сложения и произведения над событиями обладают рядом свойств, аналогичных свойствам обычных сложения и умножения чисел:
1. Переместительное свойство:
А+В=В+А; А*В=В*А.
2. Сочетательное свойство:
(А+В)+С=А+(В+С); (А*В)*С=А*(В*С).
3. Распределительное свойство:
А*(В+С)=А*В+А*С.
Однако некоторые операции над событиями не равнозначны операциям над числами, в частности, для событий
А+А=А; А*А=А.
Разностью событий А и В называется событие С (С=А-В), состоящие в том что событие В не происходит. Геометрическая интерпретация разности событий показано на рис.6
рис.6
Событие
= называется дополнением к А или противоположным А (рис.7).рис.7
Очевидно, что
- это невозможное событие, а противоположные события А и представляют собой простейший случай полной группы событий.Составные события можно представить в виде комбинаций элементарных или более простых событий, применяя рассмотренные выше операции.
Пример: при вытягивании трех лотерейных билетов возможны следующие элементарные события:
А1, А2, А3 - выигрыш первого, второго, третьего билета, соответственно;
, - проигрыш первого, второго, третьего билета, соответственно.Рассмотрим составное событие В, состоящие в том, что из трех билетов только один может оказаться выигрышным. Очевидно, что событие В можно представить в следующей комбинации:
В=
Из определения суммы, произведения, разности, дополнения событий и их свойств вытекают следующие формулы:
Используя эти формулы, которые легко проверяются самостоятельно, можно представлять составные события в более простом аналитическом виде.
Выводы:
1. Понятиями теории вероятностей являются случайное явление; случайное событие, полная группа событий, элементарное событие, составное событие, несовместимые события, совместимые события, достоверное событие, невозможное событие, противоположное событие, равновозможные события.
2. Основными операциями над случайными событиями являются сумма (объединение), произведение (пересечение), разность и дополнение.
3. Любое составное событие можно представить в виде комбинаций элементарных событий или более простых событий.
2. Вероятность случайного события.
Основные теоремы теории вероятностей
Одной из важнейших характеристик случайного события является его вероятность, которую в большинстве практических задач связывают с эмпирическим понятием частоты события.
Частотой Р
события А в данной серии испытаний называется отношение числа испытаний m, в которых появилось данное событие, к общему числу испытаний n:Частота событий обладает следующими свойствами:
1. Частота случайного события А есть неотрицательное число, заключенное между нулем и единицей:
2. Частота достоверного события равна единице.
3. Частота невозможного события равна нулю.
4. Частота суммы двух несовместных событий А и В равна сумме частот этих событий:
5. Частота произведения двух событий равна произведению частоты одного из них на условную частоту другого.
Условной частотой называют частоту одного события, вычисленную при условии наступления другого события, обозначают
Следовательно,Вероятностью события А называется постоянное число, около которого группируются частоты этого события по мере увеличения количества опытов (статистическое определение вероятности события).
При небольшом числе опытов, частота события носит в значительной мере случайный характер. Пусть, например, опыт - бросание монеты, событие А - "появление герба". На рис.8 изображена зависимость
появление герба от числа опытов n (логарифмическая шкала по оси абсцисс).рис.8
Из рис.8 видно, что по мере увеличения n частота проявляет тенденцию стабилизироваться, приближаясь сквозь ряд случайных отклонений к постоянной величине, равной 0,5 (это и есть вероятность появление герба в одном опыте).
Хотя вероятность события в самой своей основе связана с опытным, практическим понятием частоты события, однако для ее определения не всегда есть возможность провести большое число опытов.
Если пространство
, связанное с опытом, состоит из конечного числа равновозможных элементарных событий то вероятность любого случайного события А в таком опыте равна отношению числа m благоприятствующих ему элементарных событий к их общему числу n (классическое определение вероятности событий):Если пространство
содержит бесконечное множество элементарных событий, то может быть использовано геометрическое определение вероятности, когда вероятность попадания точки в любую область пропорциональна мере этой части (длине, площади, объему) и не зависит от ее расположения и формы.Если геометрическая мера всей области S, а геометрическая мера части этой области, попадание в которую благоприятствует данному событию А, есть
, , то вероятность событияВ общем случае, когда множество элементарных событий является непрерывным, строится аксиоматическая теория вероятностей.
При этом для того, чтобы теория вероятностей хорошо согласовалась с опытом, аксиомы теории вероятностей вводятся таким образом, чтобы вероятность события обладала основными свойствами частоты события.
Вероятностью события Р(А) события А называется определенная на
действительная функция, удовлетворяющая трем аксиомам:Аксиома 1. Вероятность события А есть неотрицательное число:
Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна единице:
Аксиома 3. Вероятность суммы попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
Из аксиом 1, 2, 3 следует, что
в частности, вероятность невозможного события равно нулю. Важно отметить, что непрерывном вероятном пространстве из равенств Р(А)=1 или Р(А)=0 не следует, что А является достоверным или соответственно невозможным событием. Из аксиомы 3 следует связь между вероятностями прямого или противоположного событий:Вводимая далее аксиома 4 определяет условную вероятность.
Аксиома 4. Условная вероятность Р(А/В) события А при условии, что уже имеет место событие В, определяется с помощью формулы:
Р(АВ)=Р(В)*Р(А/В)=Р(А)*Р(В/А).
Два события А и В называются зависимыми, если вероятность каждого из них меняется в связи с наступлением или не наступлением другого. В противном случае события А и В называются независимыми.
Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению этих событий:
Р(АВ)=Р(А)*Р(В).
Задачи на вычисление частоты событий и их вероятностей.
Задача 1. Среди 250 изготовленных деталей оказалось пять, не отвечающих стандарту. Определить частоту появления деталей, не отвечающих стандарту.
РЕШЕНИЕ: Из определения частоты получаем, что
Задача 2. Среди 25 студентов группы, в которой десять девушек, разыгрывается пять билетов . Определить вероятность того, что среди обладателей окажутся две девушки.
РЕШЕНИЕ: Число всех равновозможных случаев распределить пять билетов среди 25 студентов равно числу сочетаний
Число групп по трое юношей из 15, которые могут получить билеты, равно С. Каждая такая тройка может сочетаться с любой парой из десяти девушек, а число таких пар равно С. Таким образом, число групп по пять студентов, в каждую из которых будут входить трое юношей и две девушки, равно произведению Это произведение равно числу благоприятствующих рассматриваемому событию случаев. Из классического определения вероятности события, получаем:Задача 3. В любые моменты интервала времени Т равновозможны поступления двух телефонных звонков. Абонент не сумеет ответить на оба звонка, если разность между моментами поступления сигналов будет меньше
. Определить вероятность Р(А) того, что абонент не сумеет ответить на оба звонка.РЕШЕНИЕ: Изобразим случайные моменты поступления звонков
в виде декартовых координатах на плоскости. Областью возможных значений является квадрат площадью (рис.9). Абонент не сумеет ответить на два звонка, если Рис. 9
Данная область лежит между прямыми
Площадь этой области Используя геометрическое определение вероятности, получаем:При определении вероятности составных событий используют основные теоремы теории вероятностей, являющиеся следствием приведенных выше аксиом и определений.
3. Основные теории вероятностей.
Теорема сложения вероятностей
Вероятность появления какого-либо одного из нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
P(A+B+...+L)=P(A)+P(B)+...+P(L).
Следствие 1. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице.
Следствие 2. Вероятность события, противоположного данному, равна разности между единицей и вероятностью данного события, т.е.
Теорема сложения вероятностей справедлива только для несовместных событий. В случае, когда события А и в совместны, вероятность суммы этих событий выражается формулой
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).
Теорема умножения вероятностей.
Вероятность произведения событий ABC...KL равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого последующего события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место, т.е.
P(ABC...KL)=P(A)*P(B/A)*P(C/AB)*...*P(L/ABC...K).
В частности, вероятность произведения двух событий А и В
Р(АВ)=Р(А)*Р(В/А)=Р(В)*Р(А/В).
Следствие. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей:
P(ABC...KL)=P(A)*P(B)*P(C)*...*P(L).
Отметим, что вероятность появления хотя бы одного события из совокупности любого числа совместных событий легче производить, если перейти к противоположным событиям. Тогда вероятность появления хотя бы одного из совместных событий А, В, С,...,L равна разности между единицей и вероятностью произведения противоположных событий
Рассмотрим типовые задачи на применение теорем сложения и умножения вероятностей.
Задача 1. Мишень состоит из трех зон. Вероятность попадания в первую зону при одном выстреле равна 0,15; во вторую - 0,23; в третью - 0,17. Найти вероятность промаха.
РЕШЕНИЕ: Обозначим событие
- промах, А - попадание в мишень. Тогда где - попадание соответственно в первую, вторую и третью зоны. По теореме сложения вероятностей:)откуда
.Задача 2. В урне 2 белых и три черных шара. Из урны вынимают подряд два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.
РЕШЕНИЕ: Обозначим: событие А - появление двух белых шаров. Событие А представляет собой произведение двух событий:
А=
где
- появление белого шара при первом вытаскивании;- появление белого шара при втором вытаскивании.По теореме умножения вероятностей
На практике редко встречаются задачи, в которых нужно применять только теорему умножения или сложения вероятностей. Обычно обе теоремы приходится применять совместно.
Задача 3. В урне 5 белых шаров и 2 черных. Из нее вынимаются один за другим два шара. Найти вероятность того, что они будут разных цветов.
РЕШЕНИЕ: Событие С=
шары разных цветов распадается на сумму двух несовместных событий:где
первый шар белый, второй черный,первый шар черный, второй белый. Вероятности событий
найдем по теореме умножения вероятностей.где
шар белый,шар черный.По теореме сложения вероятностей
.Следствием обеих основных теорем - теоремы сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей - является так называемая формула полной вероятности.
Формула полной вероятности.
Если событие А может произойти только совместно с одним из событий
образующих полную группу несовместных событий (гипотез), то вероятность Р(А) появления события определяется по формуле полной вероятности:где
- вероятность гипотезы - условная вероятность события А при этой гипотезе.Задача: Имеются три одинаковые на вид урны: в первой урне 2 белых шара и 1 черный шар; во второй - 3 белых и один черный; в третьей - 2 белых и 2 черных шара. Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.
РЕШЕНИЕ: Рассмотрим три гипотезы:
Н
- выбор первой урны;Н
- выбор второй урны;Н
- выбор третьей урны,и событие А - появление белого шара.
Так как гипотезы, по условию задачи, равновозможны, то
Условные вероятности события А при этих гипотезах соответственно равны:
По формуле полной вероятности:
Теорема гипотез (формула Байеса).
Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является теорема гипотез или формула Байеса.
Если вероятности несовместных гипотез
образующих полную группу событий, до опыта были а в результате опыта появилось событие А, то условная вероятность с учетом появления события А вычисляется по формуле Байеса:В частном случае, если все гипотезы до опыта имеют одинаковую вероятность
формула Байеса принимает вид:Задача. Два стрелка независимо один от другого стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, для второго - 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что эта пробоина принадлежит первому стрелку.
РЕШЕНИЕ: До опыта возможны следующие гипотезы:
Н
- ни первый, ни второй стрелок не попадет;Н
- оба стрелка попадут;Н
- первый попадет, а второй нет;Н
- первый стрелок не попадет, а второй попадет.Вероятности этих гипотез:
Условные вероятности наблюденного события А при этих гипотезах равны:
Вероятность того, что пробоина принадлежит первому стрелку в соответствии с теоремой гипотез равна:
2. Теорема сложения справедлива только для несовместимых.
3. Последовательность испытаний.
ВЫВОДЫ:
Основные правила вычисления вероятностей составных событий задаются теоремами сложения, умножения формулой полной вероятности и формулой Байеса.
Теорема о повторении опытов
При практическом применении теории вероятностей часто приходится встречаться с задачами, в которых один и тот же опыт или аналогичные опыты повторяются неоднократно. Причем интерес представляет не событие А в каждом опыте, а общее число появления события А в серии опытов. Опыты называются независимыми, если вероятность исхода каждого опыта не зависит от исходов других опытов. Если опыты производятся в одинаковых условиях, то вероятность события А во всех опытах одинакова. Если условия различны, то вероятность меняется от опыта к опыту.
Частная теорема о повторении опытов формулируется следующим образом.
Если вероятность p наступления события А в каждом из n независимых опытов постоянна, то вероятность
того, что в n опытах событие А наступит m раз определяется формулой Бернулли:где
- число сочетаний из n элементов по m, q=1-p.Это формула выражает биномиальное распределение вероятностей, так как все вероятности Р
являются членами разложения бинома Определение вероятностей по формуле Бернулли усложняется при больших значениях n и при малых p или q. В этом случае удобнее использовать приближенные асимптотические формулы. Если
, а , но , то в этом случаеЭта формула определяется теоремой Пуассона. Если в схеме Бернулли количество опытов n достаточно велико
, а вероятность р события А в каждом опыте постоянно, то вероятность может определяться по приближенной формуле Муавра-Лапласа:,где
;- локальная функция Лапласа, которая табулирована и приводится в справочниках. Данная формула отражает, так называемую, локальную теорему Муавра-Лапласа., Вероятность появления события А не менее m раз при n опытах вычисляется по формуле:
Вероятность появления события А хотя бы один раз при n опытах
Наивероятнейшее число
наступление события А в n опытах, в каждом из которых оно может наступить с вероятностью p (и не наступить с вероятностью q=1-p), определяется из двойного неравенстваЕсли событие А в каждом опыте может наступить с вероятностью p, то количество n опытов, которое необходимо произвести для того, чтобы с заданной вероятностью Рзад. можно было утверждать, что данное событие А произойдет по крайней мере один раз, находится по формуле:
Частная теорема о повторении опытов касается того случая, когда вероятность события А во всех опытах одна и та же. На практике часто приходится встречаться с более сложным случаем, когда опыты производится в неодинаковых условиях, и вероятность события от опыта к опыту меняется.
Способ вычисления вероятности заданного числа появлений события в таких условиях даст общая теорема о повторении опытов.
Если производятся n независимых опытов в различных условиях, причем вероятность появления события А в i-м опыте равна
то вероятность Р того, что событие А в n опытах появится m раз, равна коэффициенту при Z в разложении по степеням Z производящей функции где Задача 1. Вероятность изготовления стандартного изделия равна 0,95. Какова вероятность того, что среди десяти изделий не более одного нестандартного?
РЕШЕНИЕ: Пусть событие А состоит в том, что среди десяти изделий нет ни одного нестандартного изделия, а событие В - в том, что среди десяти изделий только одно нестандартное. Тогда искомая вероятность p=P(A+B). События А и В несовместны, поэтому p=P(A)+P(B). Применяя частную теорему о повторении опытов, найдем:
Задача 2. При установившемся технологическом процессе 80% всей произведенной продукции оказывается продукцией высшего сорта. Найти наивероятнейшее число изделий высшего сорта в партии из 250 изделий.
РЕШЕНИЕ: Подставляя соответствующие числа в неравенство
получаем Поскольку может быть только целым числом, то Выводы:
1. Современная аксиоматическая концепция теории вероятностей не противоречит предложенным ранее статистическому, классическому и геометрическому определениям вероятности события.
2. В общем (непрерывном) вероятностном пространстве в отличие от дискретного могут существовать возможные события, обладающие нулевой вероятностью появления. Соответственно противоположные к ним события (их дополнения) хотя и не могут быть названы достоверными, но имеют вероятность осуществления, равную единице.
3. Основные правила вычисления вероятности составных событий задаются теоремами сложения, умножения, Байесса и формулой полной вероятности.
4. Частная и общая теоремы о повторении опытов позволяют определить вероятность того, что в n опытах событие наступит m раз для случая независимых и зависимых опытов, соответственно.