Geum.ru

Конспект лекций по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика"

Вид материалаКонспект
Математическая статистика
Группированным статистическим рядом
Подобный материал:
1   2   3   4   5   6   7   8
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Математическая статистика - это наука, занимающаяся методами обработки результатов опытов или наблюдений над случайными явлениями.

Хотя аппарат математической статистики связан со случайными явлениями, но в отличие от теории вероятностей методы математической статистики позволяют охарактеризовать случайное явление по его ограниченной выборке.

Имея статистический материал n измерений какой-либо случайной величины (выборку), необходимо решить следующие основные задачи:

1) представить статистический материал в наиболее удобном виде;

2) оценить неизвестные характеристики исследуемой случайной величины;

3) проверить статистические гипотезы о параметрах или природе анализируемой модели.

Таким образом, математическая статистика помогает исследователю лучше разобраться в опытных данных, полученных в результате наблюдений над случайными явлениями: оценить значимы или не значимы наблюдаемые факты; принять или отбросить те или иные гипотезы о природе явления.

Вместе с тем методы математической статистики широко применяются для обработки статистических данных, не имеющих вероятностной природы, поэтому они широко применяются во многих областях человеческой деятельности: политике, экономике, финансах, медицине, военном деле и др.

 

10. Основные понятия математической статистики и статистическое распределение выборки

Результат n независимых измерений случайной величины X представляет собой выборку (x1, x2, ... , xn) из теоретически бесконечной генеральной совокупности, распределение признака в которой совпадает с теоретическим распределением ввероятностей величины Х. Последняя называется распределением генеральной совокупности, а его параметры - параметрами генеральной совокупности. В большинстве приложений теоретическая генеральная совокупность есть идеализация действительной совокупности, из которой получена выборка. Если эксперимент охватывает генеральную совокупность объектов, то полученный набор экспериментальных данных назывется генеральной выборкой.

Первое, что попадает в руки аналитика - это протокол в котором зарегистрированы: номер опыта i и значение хi, которое приняла в этом опыте случайная величина Х. Такой протокол, представленный в виде таблицы или виде вектора, называют первичной статистической совокупностью. При большом числе опытов n рассмотрение и осмысливание таблиц или векторов первичной статистической совокупности затруднительно, поэтому производят ее упорядочение. Например, размещают результаты опыта в порядке возрастания случайной величины. Таким образом получают упорядоченную статистическую совокупность. Размах выборки есть разность между наибольшим и наименьшим значением хi.

По упорядоченной статистической совокупности уже можно построить статистическую функцию распределения:



Функция - разрывная ступенчатая функция, равная нулю левее наименьшего наблюденного значения случайной величины Х и единице, правее наибольшего. Теоретически она должна иметь n скачков, где n - число опытов (размер выборки), а величина каждого скачка должна быть равной - частоте наблюдаемого значения случайной величины n. Практически, если одно и то же значение наблюдалось несколько раз, соответствующие скачки сливаются в один, так что общее число скачков равно числу различных наблюденных значений случайной величины. Величина скачка в каждой точке равна , где - число повторений значения в полученной выборке.



Рис. 1-ст.

Очевидно, что другие n опытов дали бы несколько иной график функции , но общая тенденция сохранилась бы. При неограниченном увеличении n кривая будет приближаться (сходиться по вероятности) к функции распределения cлучайной величины Х. На практике применяются другие, более простые способы построения законов распределения случайной величины по опытным данным.

Для того, чтобы составить себе общее представление о законе распределения случайной величины X, незачем фиксировать каждое наблюденное значение и строить статистическую функцию распределения. Этим целям лучше служат группированный статистический ряд и гистограмма.

Для построения группированного статистического ряда весь участок оси абсцисс, на котором расположены значения случайной величины X, наблюдавшиеся в опыте, делятся на участки или “разряды”. Длины разрядов необязательно брать равными друг другу: бывают случаи, когда на участках оси абсцисс, где наблюденные значения X располагаются гуще, удобнее брать разряды более мелкими, а там где реже - более крупными (или объединять два или более равных по длине разрядов в один). Границы разрядов удобно брать “круглыми” числами.

Группированным статистическим рядом называется таблица, где в верхней строке указаны разряды: от и до, в нижней - соответствующие им частоты:

























 

 

причем

Частота события вычисляется как отношение числа опытов, в которых случайная величина попала в -й разряд к общему числу проведенных опытов:

.

Если значение случайной величины попало в точности на границу между разрядами, то её можно отнести либо к левому разряду, либо к правому (ведь вероятность того, что непрерывная случайная величина примет заранее заданное значение, равна нулю). Можно использовать и “симметричное правило”: если значение случайной величины попало в точности на границу разрядов, то разделить его поровну между соседними разрядами и прибавить по к числам для обоих разрядов.

Число разрядов, на которые следует группировать статистические данные, не должно быть слишком большим ( тогда ряд распределения становится слишком невыразительным, и частоты в нем обнаруживают незакономерные колебания); с другой стороны оно не должно быть слишком малым (при этом свойства распределения описываются слишком грубо). Практика показывает, что в большинстве случаев рационально выбирать число разрядов порядка .

Группированный статистический ряд часто оформляется графически в виде так называемой гистограммы - статистического аналога кривой распределения. Гистограмма строится следующим образом. По оси абсцисс откладываются разряды и на каждом разряде как его основание строится прямоугольник, площадь которого равна частоте данного разряда (высота прямоугольника равна частоте данного разряда , разделенной на его длину ). Из способа построения гистограммы следует, что полная площадь ее равна единице.

Очевидно, что при увеличении числа опытов можно выбирать все более и более мелкие разряды, при этом гистограмма будет все более приближаться к некоторой кривой ограничивающей площадь, равную единице.

Эта кривая представляет собой график статистической плотности распределения величины Х.

Имея в своем распоряжении группированный статистический ряд, можно приближенно построить и статистическую функцию распределения величины Х.

В качестве тех значений х, для которых вычисляется , естественно, взять границы разрядов. Тогда, очевидно:



Соединяя полученные точки плавной кривой, получим приближенный график статистической функции распределения.

Пример. Измерено n=100 сопротивлений определенного вида. В таблице приведены номер опыта i и соответствующие значения сопротивления (в омах).



i
xi
i
xi
i
xi
i
xi
i
xi

1
87
21
82
41
88
61
108
81
84

2
85
22
111
42
90
62
95
82
105

3
91
23
115
43
101
63
99
83
110

4
102
24
99
44
95
64
92
84
102

5
80
25
96
45
93
65
100
85
104

6
75
26
101
46
32
66
118
86
107

7
94
27
115
47
88
67
103
87
120

8
102
28
100
48
94
68
102
88
108

9
99
29
97
49
98
69
89
89
107

10
101
30
91
50
99
70
90
90
98

11
100
31
87
51
102
71
94
91
96

12
120
32
116
52
101
72
106
92
106

13
122
33
121
53
122
73
112
93
110

14
101
34
101
54
99
74
122
94
115

15
88
35
123
55
97
75
100
95
95

16
80
36
97
56
95
76
92
96
109

17
97
37
95
57
105
77
83
97
111

18
92
38
88
58
112
78
82
98
103

19
91
39
104
59
116
79
111
99
88

20
94
40
111
60
118
80
102
100
108



Имея первичную статистическую совокупность, получить упорядоченную статистическую совокупность; построить группированный статистический ряд с шестью равномерными разрядами; гистограмму и статистическую функцию распределения.

Решение: Упорядоченная статистическая совокупность имеет вид:



i
xi
i
xi
i
xi
i
xi
i
xi

1
75
21
92
41
97
61
102
81
111

2
80
22
92
42
98
62
102
82
111

3
80
23
92
43
98
63
102
83
111

4
82
24
92
44
99
64
102
84
111

5
82
25
93
45
99
65
103
85
112

6
84
26
93
46
99
66
103
86
112

7
85
27
94
47
99
67
104
87
115

8
87
28
94
48
99
68
104
88
115

9
87
29
94
49
100
69
105
89
115

10
88
30
95
50
100
70
105
90
116

11
88
31
95
51
100
71
106
91
116

12
88
32
95
52
100
72
106
92
118

13
88
33
95
53
101
73
107
93
118

14
88
34
95
54
101
74
107
94
120

15
89
35
95
55
101
75
108
95
120

16
90
36
96
56
101
76
108
96
121

17
90
37
96
57
101
77
108
97
122

18
91
38
97
58
101
78
109
98
122

19
91
39
97
59
102
79
110
99
122

20
91
40
97
60
102
80
110
100
123



Если в таблице первичной статистической совокупности одно и то же значение встречается несколько раз, то и в таблице упорядоченной статистической совокупности его надо писать столько же раз.

Для группированного статистического ряда выберем “круглые” границы разрядов: (70-80); (80-90); (90-100); (100-110); (110-120); (120-130).

Подсчитывая количество значений случайной величины, попавших в каждый разряд (считая половинки от попавших в границу между разрядами) и деля это значение на число опытов n=100, получим группированный статистический ряд:



Разряды
70:80
80:90
90:100

Частоты
0,02
0,14
0,34

Разряды
100:110
110:120
120:130

Частоты
0,29
0,15
0,06



Откладывая по оси абсцисс разряды и строя на каждом разряде как на основании прямоугольник с площадью , получим гистограмму (рис. 2).



Рис. 2-ст.

Пользуясь группированным статистическим рядом, находим:

F*(70) = 0; F*(80) = 0,02; F*(90) = 0,02 + 0,14 = 0,16;

F*(100) = 0,02 + 0,14 + 0,34 = 0,5; F*(110) = 0,5 + 0,29 = 0,79;

F*(120) = 0,79 + 0,15 = 0,94; F*(130) = 0,94 + 0,06 = 1.

График статистической функции распределения показан на рис. 3.