Примерная программа наименование дисциплины «теория вероятностей и математическая статистика» Рекомендуется для направлений подготовки

Вид материала

Примерная программа

Содержание Цели и задачи дисциплины. Место дисциплины в структуре ООП. 3. Требования к уровню освоения дисциплины. Объём дисциплины и виды учебной работы (часы) Аудиторные занятия Лабораторные работы (ЛР) Другие виды аудиторных занятий (тактические занятия, учения, специальные игры, индивидуальные занятия) Самостоятельная работа Домашняя работа (задание) Вид итогового контроля 5. Содержание дисциплины Тема 2. Произвольное вероятностное пространство Тема 3. Классические вероятностные схемы и предельные теоремы. Тема 4. Условная вероятность. Независимость событий. Тема 5. Случайные величины и их распределения. Тема 6. Операции над случайными величинами. Тема 7. Числовые характеристики случайных величин. Тема 8. Характеристические и производящие функции. Тема 9. Предельные теоремы. Раздел 2. Случайные процессы. ... Полное содержание

Подобный материал:

• Рабочая программа учебной дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика», 165.42kb.
• Рабочая учебная программа дисциплины (модуля) Теория вероятностей и математическая, 217.23kb.
• Рабочая программа учебной дисциплины теория вероятностей и математическая статистика, 830.1kb.
• Рабочая программа дисциплины "теория вероятностей и математическая статистика", 112.61kb.
• Примерная программа учебной дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика», 252.08kb.
• Рабочая программа дисциплины «теория вероятностей и математическая статистика» Рекомендуется, 152.96kb.
• Рабочая программа дисциплины «теория вероятностей и математическая статистика» Рекомендуется, 213.97kb.
• Рабочая программа дисциплины «теория вероятностей и математическая статистика» Рекомендуется, 215.95kb.
• Примерная рабочая программа по дисциплине: «теория вероятностей, математическая статистика, 83.07kb.
• Программа по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов, 206.05kb.

Министерство образования и науки

Российской Федерации


Рекомендовано

Учебно-методическим

объединением

по образованию в области

информационной безопасности


ПРИМЕРНАЯ ПРОГРАММА

Наименование дисциплины

«ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»


Рекомендуется для направлений подготовки


Специальность: 090106.65

«Информационная безопасность телекоммуникационных систем»


Москва 2009

1. Цели и задачи дисциплины.
   

Целью преподавания дисциплины «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» является изложение основных понятий и методов теории вероятностей и математической статистики, а также содействие фундаментализации образования, формированию мировоззрения и развитию системного мышления у студентов.

Задача дисциплины – обучить студентов:

• основным методам теории вероятностей и математической статистики;
  
• формирование у них навыков построения и исследования вероятностных моделей реальных процессов и явлений.
  

2. Место дисциплины в структуре ООП.
   

Цикл математических и естественнонаучных дисциплин (базовая часть).

При изложении дисциплины «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» используются знания, полученные обучаемыми по дисциплинам «Алгебра и геометрия» и «Математический анализ». Знания и практические навыки, полученные по дисциплине «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА», используются в изучении дисциплин: Теория информации и кодирования, Интеллектуальные информационные системы, Моделирование систем и сетей телекоммуникаций, Криптографические методы защиты информации, Техническая защита информации, Теория радиотехнических сигналов, Теория электрической связи, Физика.


3. Требования к уровню освоения дисциплины.

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций у выпускника по специальности «Информационная безопасность телекоммуникационных систем» с квалификацией (степенью) «специалист»:

а) общекультурных (ОК)

• способности логически верно, аргументировано и ясно строить устную и письменную речь на русском языке, создавать и редактировать тексты профессионального назначения, публично представлять собственные и известные научные результаты, вести дискуссии (ОК-7);
  
• способности к логическому мышлению, обобщению, анализу, критическому осмыслению, систематизации, прогнозированию, постановке исследовательских задач и выбору путей их достижения (ОК – 9);
  
• способности самостоятельно применять методы и средства познания, обучения и самоконтроля для приобретения новых знаний и умений, в том числе в новых областях, непосредственно не связанных со сферой деятельности, развития социальных и профессиональных компетенций, изменения вида и характера своей профессиональной деятельности (ОК-10);
  

б) профессиональных (ПК):

- общепрофессиональных:

• способности выявлять естественнонаучную сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, и применять соответствующий физико-математический аппарат для их формализации, анализа и выработки решения (ПК-1);
  
• способности применять математический аппарат, в том числе с использованием вычислительной техники, для решения профессиональных задач (ПК-2);
  
• спо­соб­ности оп­ре­де­лять по­греш­но­сти вы­чис­ле­ний и при­ме­нять стан­дарт­ные па­ке­ты чис­лен­ных вы­чис­ле­ний (ПК-8);
  

- по видам деятельности:

научно-исследовательская деятельность:

• спо­соб­ности при­ме­нять со­вре­мен­ные ме­то­ды ис­сле­до­ва­ния с ис­поль­зо­ва­ни­ем ком­пь­ю­тер­ной тех­ни­ки (ПК-12);
  
• спо­соб­ности про­во­дить ма­те­ма­ти­че­ское мо­де­ли­ро­ва­ние про­цес­сов и объ­ек­тов на ба­зе стан­дарт­ных па­ке­тов ав­то­ма­ти­зи­ро­ван­но­го про­ек­ти­ро­ва­ния и ис­сле­до­ва­ний (ПК-13);
  

В результате изучения дисциплины студент должен:

Знать

• аксиоматику и основные понятия теории вероятностей;
  
• основные методы теории случайных процессов;
  
• основные понятия и задачи математической статистики;
  

Уметь

• применять стандартные методы и модели к решению типовых вероятностных и статистических задач;
  
• пользоваться расчетными формулами, таблицами, графиками при решении статистических задач;
  

Владеть

• навыками пользования библиотеками прикладных программ для ЭВМ для решения вероятностных и статистических прикладных задач.
  

3. Объём дисциплины и виды учебной работы (часы):
   

Виды учебной работы	Всего часов	Семестры
		1	2
Аудиторные занятия	72	36	36
Лекции	36	18	18
Практические занятия (ПЗ)	32	16	16
Семинары (С)	-	-	-
Лабораторные работы (ЛР)	-	-	-
Контрольные работы	4	2	2
Другие виды аудиторных занятий (тактические занятия, учения, специальные игры, индивидуальные занятия)	-	-	-
Самостоятельная работа	72	36	36
Курсовая работа (проект)	-
Реферат	-
Домашняя работа (задание)	20	10	10
Самостоятельная проработка учебного материала	52	26	26
Другие виды самостоятельной работы	-	-	-
Вид итогового контроля	36	-	Экзамен
Общая трудоемкость дисциплины часы	144+36	72	72+36
Кредитные единицы	4+1

5. Содержание дисциплины

5.1. Содержание разделов (тем) дисциплины


Раздел 1. Теория вероятностей.


Тема 1. Элементы теории множеств и комбинаторики.


Элементы теории множеств: подмножества, операции над множествами и их свойства.

Элементы комбинаторики: размещения, сочетания, перестановки для выборок с возвращением и без возвращения. Свойства биномиальных коэффициентов, бином Ньютона, полиномиальная теорема.


Тема 2. Произвольное вероятностное пространство.


Произвольное вероятностное пространство: -алгебра событий и -аддитивная вероятностная функция на ней. Свойства вероятности.

Аксиоматика Колмогорова теории вероятностей.


Тема 3. Классические вероятностные схемы и предельные теоремы.


Вероятностные пространства как математические модели практических вероятностных задач.

Конечное вероятностное пространство: элементарные события, события, функция вероятности и ее свойства.

Классическая вероятность.

Геометрическая вероятность.

Биномиальная схема испытаний. Полиномиальная схема испытаний.

Предельные теоремы Муавра-Лапласа. Предельная теорема Пуассона. Гипергеометрическое распределение и его сходимость к биномиальному распределению.


Тема 4. Условная вероятность. Независимость событий.


Условная вероятность. Независимость двух событий, попарная независимость и независимость в совокупности.

Априорные и апостериорные вероятности гипотез (событий). Формула полной вероятности. Формулы Байеса.


Тема 5. Случайные величины и их распределения.


Случайная величина. Функция распределения случайной величины и ее свойства. Плотность распределения.

Типы случайных величин и их распределений. Теорема Лебега (без доказательства).

Основные дискретные распределения: биномиальное, геометрическое, пуассоновское, гипергеометрическое.

Основные абсолютно-непрерывные распределения: нормальное, экспоненциальное, равномерное на отрезке, распределение Коши.

Случайные векторы и многомерные функции распределения.

Независимые случайные величины. Плотность распределения случайного вектора с независимыми компонентами.

Нетривиальные многомерные распределения: двухмерное нормальное распределение, полиномиальное распределение.


Тема 6. Операции над случайными величинами.


Операции над случайными величинами. Распределение функции от случайных величин.

Формула свертки.


Тема 7. Числовые характеристики случайных величин.


Математическое ожидание и дисперсия случайных величин; их свойства.

Вычисление математических ожиданий и дисперсий основных дискретных и абсолютно-непрерывных распределений.

Математическое ожидание функции от случайной величины. Неравенство Чебышева.

Начальные и центральные моменты случайных величин.

Ковариация, коэффициент корреляции случайных величин; их свойства.

Вектор средних и ковариационная матрица случайного вектора. Вероятностный смысл параметров двухмерного нормального распределения.


Тема 8. Характеристические и производящие функции.


Характеристические функции случайных величин и их основные аналитические свойства. Характеристическая функция суммы независимых случайных величин, формула обращения, теорема единственности.

Вычисление характеристических функций основных дискретных и абсолютно-непрерывных распределений.

Производящие функции дискретных распределений и их свойства.


Тема 9. Предельные теоремы.


Виды сходимости случайных величин и соотношения между ними.

Закон больших чисел. Теоремы Маркова, Чебышева, Хинчина. Закон больших чисел для схемы испытаний Бернулли.

Центральная предельная теорема. Центральная предельная теорема для независимых, одинаково распределенных случайных величин. Теорема Ляпунова (без доказательства).

Раздел 2. Случайные процессы.


Тема 10. Случайные процессы.


Дискретные цепи Маркова. Начальное распределение, матрица переходных вероятностей и ее свойства. Уравнение Колмогорова-Чепмена. Классификация состояний цепи Маркова. Теорема о предельных вероятностях.

Случайные процессы. Непосредственно заданные случайные процессы. Классификация случайных процессов.

Процессы с независимыми приращениями. Пуассоновский случайный процесс.

Стационарные процессы. Корреляционная функция и ее свойства. Теорема Бохнера-Хинчина (без доказательства). Гауссовские процессы. Винеровские процессы. Марковские процессы с непрерывным временем.


Раздел 3. Математическая статистика.


Тема 11. Математическая статистика.


Статистическая ситуация. Основные задачи математической статистики.

Статистическая выборка, статистика, порядковые статистики, выборочное среднее, выборочные дисперсии, эмпирическая функция распределения, гистограмма.

Точечные оценки неизвестных параметров распределений. Несмещенные и состоятельные оценки. Неравенство Рао-Крамера-Фреше (без доказательства). Эффективные и асимптотически эффективные оценки.

Эмпирические моменты. Метод моментов для получения оценок, свойства полученных оценок.

Функция правдоподобия. Метод максимального правдоподобия для получения оценок, свойства полученных оценок.

Интервальное оценивание неизвестных параметров. Доверительные интервалы и доверительные вероятности.

Задача проверки статистической гипотезы о значении неизвестного параметра. Критерий. Задача различения двух простых гипотез. Ошибки первого и второго рода. Лемма Неймана-Пирсона.

Построение критериев различения двух простых гипотез для некоторых конкретных распределений.

Понятие о критериях согласия. Критерий ² . Статистический анализ двоичных последовательностей (критерии согласия с равномерным распределением, статистика длин серий).

Обзор статистических методов обработки экспериментальных данных.


5.2. Разделы (темы) дисциплины и виды занятий

№ п/п	Раздел дисциплины	Лекции (час)	ПЗ или С (час)	ЛР (час)	Кон. р. (час)
1	Теория вероятностей	18	16	-	2
2	Случайные процессы	8	4	-	-
3	Математическая статистика	10	12	-	2

6. Лабораторный практикум

Не предусмотрен.


7. Примерная тематика курсовых работ (проектов)

Курсовые работы не предусмотрены


8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины


а) Основная литература


1. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей, М., УРСС, 2005.

2. Теория вероятностей и математическая статистика в задачах. М., Дрофа, 2005.

3. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей, М., Агра, 1996.

б) Дополнительная литература:


1. Боровков А.А. Теория вероятностей, М., УРСС, 2003.


в) Программное обеспечение:

Для выполнения домашних работ возможно использование статистических пакетов STADIA и STATGRAPHICS для ОС Windows.

9. Материально-техническое обеспечение дисциплины
   

Компьютерный класс с ПЭВМ не ниже Pentium III.


10. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины.


Примерным учебным планом на изучение курса отводится 144 часа в четвёртом и пятом семестрах. Из них 72 часа используется для аудиторных занятий. В конце 5 семестра в качестве итогового контроля предусмотрен экзамен. В соответствии с госстандартом на подготовку и сдачу экзамена примерным учебным планом выделяется дополнительно по 36 часов в каждом семестре. При изучении дисциплины целесообразно провести в каждом семестре по одной контрольной работе и выполнить одно долговременное домашнее задание (как правило, на ПК с использованием статистических пакетов).

При изучении дисциплины необходимо добиться знания обучаемыми основных понятий и методов теории вероятностей и математической статистики, умения применять их к решению теоретико-вероятностных и статистических задач.

Предлагается:

• при чтении лекций по всем разделам дисциплины иллюстрировать теоретический материал достаточным количеством примеров;
  
• при проведении практических занятий обратить внимание на выработку навыков самостоятельного решения задач, а также использования расчетных формул, табличных данных и статистических пакетов прикладных программ, например, STADIA и STATGRAPHICS для ПК.
  
• при изучении 1-го раздела дисциплины (теории вероятностей) обратить особое внимание на структуру вероятностных экспериментов (экспериментов с непредсказуемыми исходами) и алгоритм построения их вероятностных моделей (вероятностных пространств);
  
• при изучении 2-го раздела дисциплины (случайных процессов) обратить внимание студентов (слушателей) на интерпретацию случайного процесса как процесса изменения во времени состояний некоторой системы (технической, природной и т.д.);
  

при изучении 3-го раздела дисциплины (математической статистики) подробно остановиться на понятии случайной выборки – выявить многозначность этого понятия, указать различие между теоретической случайностью и практической случайностью (репрезентативностью) выборок, между параметрической и непараметрической статистическими структурами.

1. Выборки из конечной генеральной совокупности (упорядоченные и неупорядоченные, с возвращением и без возвращения). Комбинаторные числа. Вычисление мощностей различных комбинаторных множеств.
   
2. Вероятностные эксперименты (эксперименты с непредсказуемыми исходами). Вероятностные пространства. Построение вероятностных пространств для вероятностных экспериментов.
   
3. Конечное вероятностное пространство с классическим типом вероятности. Обоснование типа вероятности.
   
4. Понятие о мере Лебега. Вероятностное пространство с геометрическим типом вероятности. Обоснование типа вероятности.
   
5. Условные вероятности и независимость.
   
6. Формула полной вероятности и формулы Байеса.
   
7. Биномиальная и полиномиальная схема испытаний.
   
8. Применение классических предельных теорем в приближенных расчетах.
   
9. Случайные величины на вероятностных пространствах: вычисление числовых характеристик (математического ожидания, дисперсии, моментов).
   
10. Случайные величины на вероятностных пространствах: доказательство независимости и вычисление характеристик зависимости (ковариации и коэффициента корреляции).
    
11. Производящие и характеристические функции основных распределений.
    
12. Последовательности случайных величин: проверка выполнения ЗБЧ и ЦПТ.
    
13. Нормальное многомерное распределение.
    
14. Дискретные цепи Маркова. Классификация состояний. Вычисление стационарных и финальных распределений.
    
15. Пуассоновский процесс, винеровский процесс: вычисление корреляционных функций, нестационарность, вычисление инфинитезимальной матрицы пуассоновского процесса.
    
16. Основные понятия математической статистики. Первичная статистическая обработка случайной выборки. Разбор понятия репрезентативной выборки.
    
17. Точечное оценивание параметров распределений. Проверка несмещённости и состоятельности различных оценок.
    
18. Построение доверительных интервалов для параметров различных распределений.
    
19. Статистические гипотезы. Критерий проверки гипотез. Вероятности ошибок при проверке гипотез. Лемма Неймана-Пирсона. Проверка простых гипотез о значении параметров нормального распределения.
    
20. Проверка гипотез с применением критерия ².
    

10.2. Рекомендуемый перечень тем контрольных работ

1. Классическая и геометрическая вероятность. Классические предельные теоремы. Распределения случайных величин. Числовые характеристики распределений.
   
2. Точечные и интервальные оценки параметров распределений. Проверка статистических гипотез.
   

10.3. Рекомендуемый перечень домашних заданий

1. Случайные величины на вероятностных пространствах: доказательство независимости и вычисление характеристик зависимости (ковариации и коэффициента корреляции).
   
2. Дискретные цепи Маркова.
   

Разработчики:


Институт криптографии, связи и информатики, доцент кафедры математического анализа и теории вероятностей Власов Е.С.


Институт криптографии, связи и информатики, начальник кафедры математического анализа и теории вероятностей Шапошников В.А.


Эксперты:


Программа одобрена на заседании ________________ совета __________


от _________________ года, протокол № ____.