Geum.ru

Программа по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов 2 курса дневного отделения факультета финансов

Вид материалаПрограмма

Содержание


Рецензенты программы
1. Организационно-методический раздел.
2. Распределение учебных часов по дисциплине
Раздел I. Теория вероятностей.
Раздел II. Математическая статистика.
3. Оценка успеваемости студентов
4. Содержание дисциплины.
5. Перечень вопросов к экзамену.
6. Литература по дисциплине
6.2. Дополнительная литература
Подобный материал:


Всероссийская академия внешней торговли


Кафедра информатики и математики


«Утверждаю»

Проректор по учебной работе


________________А.А. Вологдин


« » _________________2010 г.


Программа по дисциплине


«Теория вероятностей и

математическая статистика»


для студентов 2 курса дневного отделения

факультета финансов

специальность 080105.65 «Финансы и кредит»


Обсуждена и рекомендована

к утверждению на заседании кафедры.

Протокол № 9 от « 08 » апреля 2009 г.


Москва, 2010


Разработчики программы: к.т.н., проф. Спиридонова Т.А.


Рецензенты программы: к.ф.-м.н., доц. МГУ Кирюшин В.В.


Оглавление





Оглавление 3

1. Организационно-методический раздел. 4

2. Распределение учебных часов по дисциплине: 7

3. Оценка успеваемости студентов 8

4. Содержание дисциплины. 9

5. Перечень вопросов к экзамену. 15

6. Литература по дисциплине 17

6.1. Основная литература. 17

6.2. Дополнительная литература 18

6.3. Перечень компьютерных программ. 18



1. Организационно-методический раздел.


Учебная программа по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» разработана в соответствии с Государственным стандартом образования РФ (ЕН. Общие математические и естественнонаучные дисциплины. Раздел ЕН.Ф.01. Математика) и предназначена для студентов дневного отделения факультета финансов.

Дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика» состоит из двух разделов: теории вероятностей и математической статистики и посвящена изучению основ математико-статистического инструментария экономических исследований.

Теория вероятностей – наука, изучающая математические модели случайных явлений. Изучение теории вероятностей дает возможность измерять и контролировать различные формы неопределенности, с которыми должны считаться деловые люди при принятии решения.

Теория вероятностей является базовой дисциплиной для математической статистики. Математическая статистика – раздел математики, изучающий методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений с целью выявления статистических закономерностей. Она играет важную роль в естественно-научных и экономических исследованиях, так как позволяет выявить закономерности, не всегда очевидные на первый взгляд. Методы анализа данных рассматриваются в математической статистике как составная часть принятия решения.

Преподавание данной дисциплины имеет целью:

- обучение основным математическим методам, необходимым для анализа и моделирования процессов и явлений социально-экономического характера при поиске оптимальных решений;

- обучение основным методам обработки и анализа эмпирических данных;

- формирование способностей к логическому и алгоритмическому мышлению.

В результате изучения данной дисциплины студент должен:

иметь представление:

- о предмете и методах теории вероятностей и математической статистики, как особого научного способа познания мира,

-об общности понятий, представлений и моделей теории вероятностей и математической статистики,

-об истории и перспективах развития изучаемых разделов теории вероятностей и математической статистики;

знать:

основные понятия, теоремы, задачи и методы теории вероятностей и математической статистики.

уметь:

создавать математические модели процессов и явлений социально-экономического характера, применять вероятностно-статистические методы при решении практических задач.

При изучении данной дисциплины применяются различные формы учебных занятий: лекции, семинары, коллоквиумы, практические занятия и самостоятельная работа.

На лекциях по теории вероятностей и математической статистике излагаются наиболее сложные вопросы содержания дисциплины, проводится анализ основных понятий и методов. Чтение лекций сопровождается рассмотрением примеров, как правило, социально-экономического характера.

На практических занятиях студенты овладевают основными методами и приемами решения задач теории вероятностей и математической статистики, а также получают разъяснения теоретических положений дисциплины.

При проведении практических занятий должное внимание уделяется:
  • развитию аналитических и вычислительных навыков;
  • привитию навыков составления и анализа математических моделей простых реальных задач социально-экономического характера;
  • выработке навыков отбора данных, необходимых для решения задач;
  • выбору метода исследования;
  • доведению задач до практически приемлемого результата.

Для усвоения предмета математики самостоятельная работа студентов является определяющей. Эта работа состоит из непрерывной работы по самостоятельному изучению отдельных тем и разделов и предусматривает периодическое выполнение контрольных (типовых) заданий.

Результативность самостоятельной работы студентов обеспечивается системой контроля, которая включает опрос студентов на практических занятиях, домашние работы, контрольные работы, коллоквиумы, семинары и экзамен.

2. Распределение учебных часов по дисциплине:


№ темы
наименование темы
количество часов

всего
из них по видам учебной работы

лекции
практич

занятия
самост

работа




Раздел I. Теория вероятностей.
84
16
30
38

1
Предмет теории вероятностей. Основные понятия. Элементы комбинаторики.
8
2
2
4

2
Случайные события и правила действий с ними. Классическое, статистическое, геометрическое определения вероятности. Свойства вероятности.
11
2
4
5

3
Основные правила действий в дискретном вероятностном пространстве.
13
2
6
5

4
Биномиальная схема испытаний. Формула Бернулли. Приближенные формулы Лапласа, Пуассона.
11
2
4
5

5
Случайные величины и способы их описания. Основные дискретные распределения.
11
2
4
5

6
Функция распределения вероятностей. Функция плотности распределения вероятностей. Непрерывные распределения.

11
2
4
5

7
Математические операции над случайными величинами. Числовые характеристики случайных величин.

11
2
4
5

8
Предельные теоремы теории вероятностей.
8
2
2
4




Раздел II. Математическая статистика.
66
16
20
30

1
Вариационные ряды и их характеристики.
10
2
4
4

2
Математическая теория выборочного метода. Оценки параметров. Методы нахождения оценок.
10
2
4
4

3
Интервальное оценивание.
8
2
2
4

4
Проверка статистических гипотез. Понятие статистической гипотезы и статистического критерия.
8
2
2
4

5
Проверка стандартных статистических гипотез.

12
4
4
4




6
Построение теоретического закона распределения по опытным данным.
10
2
2
6

7
Коэффициент корреляции: формула вычисления, интерпретация, проверка значимости.
8
2
2
4

Итого:
150
32
50
68



Текущие формы контроля: Контрольная работа - 2


Коллоквиум - 2


Итоговая форма контроля: экзамен



3. Оценка успеваемости студентов


Вид работы
Кол-во данных форм контроля
Максимальное кол-во баллов
Общее кол-во баллов по данной форме контроля

Работа на семинаре



3
3

Коллоквиум №1
1
20
20

Коллоквиум №2
1
10
10

Контрольная работа №1
1
5
5

Контрольная работа №2
1
12
12

Итого






50 баллов


Экзамен: 50 баллов


Шкала для итоговой оценки:

85 – 100 баллов – «отлично»

70 – 84 баллов – «хорошо»

52 – 69 баллов – «удовлетворительно»

менее 52 баллов – «неудовлетворительно»

4. Содержание дисциплины.



Раздел I. Теория вероятностей


Тема 1. Предмет теории вероятностей. Основные понятия. Элементы комбинаторики.

Предмет теории вероятностей. Основные определения. Историческая справка. Событие как результат испытания. Элементы комбинаторики. Комбинаторный принцип «умножения». Размещения, перестановки, сочетания, перестановки с повторениями.

Тема 2. Случайные события и правила действий с ними. Классическое, статистическое, геометрическое определения вероятности. Свойства вероятности.

Классическая схема абстрактных событий. Классификация событий. Алгебра событий. Диаграммы Венна. Классическое определение вероятности. Геометрические вероятности. Статистическое определение вероятности. Аксиоматика теории вероятностей А.Н.Колмогорова. Свойства вероятности.

Тема 3. Основные правила действий в дискретном вероятностном пространстве.

Правила сложения вероятностей. Теорема сложения для двух произвольных событий. Условная вероятность. Зависимые и независимые события. Теорема умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Тема 4. Биномиальная схема испытаний. Формула Бернулли. Приближенные формулы Лапласа, Пуассона.

Последовательность независимых испытаний по схеме Бернулли. Формула Бернулли. Приближенные формулы для вычисления биномиальных вероятностей и их сумм: локальная теорема Муавра-Лапласа, интегральная теорема Лапласа, теорема Пуассона.

Тема 5. Случайные величины и способы их описания. Основные дискретные распределения.

Понятие случайной величины, определение. Типы случайных величин. Закон распределения дискретной случайной величины. Способы задания закона распределения. Основные дискретные распределения: равномерное, гипергеометрическое, геометрическое, биномиальное, распределение Пуассона.

Тема 6. Функция распределения вероятностей. Функция плотности распределения вероятностей. Непрерывные распределения.

Функция распределения вероятностей случайной величины; определение, свойства. Непрерывные случайные величины. Функция плотности распределения; определение, свойства. Основные непрерывные распределения: равномерное, экспоненциальное, нормальное распределение.

Тема 7. Математические операции над случайными величинами. Числовые характеристики случайных величин.

Математические операции над случайными величинами. Числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин. Определение и свойства математического ожидания. Определение и свойства дисперсии. Характеристики положения. Начальные и центральные моменты случайной величины. Показатели асимметрии и эксцесса. Определение квантили порядка p распределения непрерывной случайной величины. Числовые характеристики систем двух случайных величин. Коэффициент корреляции. Свойства коэффициента корреляции.

Тема 8. Предельные теоремы теории вероятностей.

Закон больших чисел: неравенство Чебышева, теорема Чебышева, теорема Бернулли. Особая роль нормального распределения. Центральная предельная теорема для сумм независимых случайных величин.

Вопросы для самоконтроля по разделу «Теория вероятностей»
  1. Что изучает теория вероятностей?
  2. Дайте определения случайного, невозможного, достоверного событий. Приведите примеры.
  3. Дайте определение противоположных событий. Приведите примеры.
  4. Какие события называются несовместными. Приведите примеры.
  5. Что такое комбинаторика? Сформулируйте комбинаторный принцип «умножения».
  6. Что такое вероятность. Можно ли охарактеризовать вероятностью: случайный эксперимент, пространство элементарных событий, событие?
  7. Сформулируйте классическое определение вероятности и свойства вероятности.
  8. Какие два события называются взаимно независимыми. Как записать условие их взаимной независимости.
  9. В чем состоит биномиальная схема испытаний Бернулли.
  10. Что такое биномиальный коэффициент. Что он показывает в формуле вероятности биномиального распределения.
  11. Дайте определение случайной величины. Приведите примеры.
  12. Какие случайные величины называются дискретными?
  13. Какие случайные величины называются непрерывными?
  14. Дайте определение функции распределения. Каковы ее основные свойства.
  15. Чему равна вероятность попадания значения непрерывной случайной величины в заданную точку?
  16. Может ли равняться нулю вероятность попадания значения непрерывной случайной величины в заданный промежуток?
  17. Дайте определение числовой характеристики случайной величины.
  18. Что характеризует математическое ожидание случайной величины.
  19. Что характеризует дисперсия случайной величины.
  20. Что такое мода и медиана непрерывной случайной величины.
  21. Что такое стандартное нормальное распределение?
  22. Является ли распределение Пуассона дискретным или непрерывным?
  23. Дайте определение независимости двух случайных величин.
  24. Что такое коэффициент корреляции. Сформулируйте свойства коэффициента корреляции.
  25. Что легче интерпретировать: ковариацию или корреляцию? Почему?
  26. Перечислите известные Вам непрерывные распределения.
  27. О чем гласит закон больших чисел?
  28. В чем суть центральной предельной теоремы?


Раздел II. Математическая статистика.

Тема 1. Вариационные ряды и их характеристики.

Основные понятия математической статистики. Основные этапы статистической обработки данных. Типы выборок. Вариационные ряды. Статистические таблицы, графические методы представления информации. Выборочные числовые характеристики положения, рассеяния.

Тема 2. Математическая теория выборочного метода. Оценки параметров. Методы нахождения оценок.

Два способа оценки параметров: точечный и интервальный. Точечное оценивание числовых характеристик и параметров распределения. Свойства точечных оценок параметров: несмещенность, эффективность и состоятельность. Свойства выборочных оценок математического ожидания и дисперсии. Несмещенная оценка дисперсии. Метод моментов и метод максимального правдоподобия для точечной оценки параметров распределения.


Тема 3. Интервальное оценивание.

Постановка задачи интервального оценивания параметров распределения. Точность оценки, доверительная вероятность (надежность). Доверительный интервал, его свойства. Непрерывные распределения: хи-квадрат распределение Пирсона, распределение Стьюдента, распределение Фишера. Доверительные интервалы для параметров нормального распределения.

Тема 4. Проверка статистических гипотез. Понятие статистической гипотезы и статистического критерия.

Постановка задачи проверки статистических гипотез. Принципы проверки статистических гипотез и принятие решений. Научная и статистическая гипотезы. Сущность проверки гипотезы. Ошибка первого рода. Уровень значимости. Ошибка второго рода, мощность критерия. Критическая и допустимая области. Односторонний и двусторонний критерии. Общая схема проверки статистических гипотез.

Тема 5. Проверка стандартных статистических гипотез.

Проверка гипотез о числовых значениях параметров нормального распределения. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух нормальных распределений. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных распределений.

Проверка гипотезы о числовом значении вероятности события. Проверка гипотезы о равенстве параметров двух биномиальных распределений.

Тема 6. Построение теоретического закона распределения по опытным данным.

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности. Критерий согласия Пирсона. Построение нормальной кривой по опытным данным.

Тема 7. Коэффициент корреляции: формула вычисления, интерпретация, проверка значимости.

Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Коэффициент ковариации, определение коэффициента корреляции Пирсона, формула вычисления, область изменения, интерпретация, проверка значимости.

Вопросы для самоконтроля по разделу «Математическая статистика».
  1. Сформулируйте основные задачи математической статистики.
  2. Что такое генеральная совокупность.
  3. Что такое выборка. Какие требования предъявляются к выборке.
  4. Как изобразить графически сгруппированные данные.
  5. Как построить график выборочной функции распределения.
  6. Как построить гистограмму. Что она характеризует?
  7. Что такое относительная частота события. Чем относительная частота отличается от вероятности события.
  8. Дайте определение точечной оценки параметра распределения или числовой характеристики распределения.
  9. Каковы основные требования, предъявляемые к точечным оценкам.
  10. Каковы свойства выборочной оценки математического ожидания?
  11. Какими свойствами обладает выборочная оценка дисперсии.
  12. Какие методы получения точечных оценок параметров Вы знаете?
  13. Дайте определение интервальной оценки параметра.
  14. Как связаны между собой надежность интервальной оценки и уровень значимости.
  15. Как найти точность интервальной оценки параметра.
  16. Как найти квантили нормального распределения?
  17. Дайте определение и приведите примеры статистических гипотез.
  18. В чем заключается цель проверки статистических гипотез?
  19. Что такое гипотезы и .
  20. Дайте определение уровня значимости.
  21. Что такое ошибка первого рода, ошибка второго рода?
  22. Сформулируйте общую схему проверки статистических гипотез.
  23. Что такое односторонняя и двусторонняя критические области.
  24. Как проверить статистическую гипотезу с помощью доверительного интервала.
  25. Как проверяется гипотеза об отсутствии связи между двумя случайными величинами?

5. Перечень вопросов к экзамену.

  1. Основные понятия теории вероятностей и математической статистики.
  2. Основное правило комбинаторики. Перестановки, размещения, сочетания. Бином Ньютона.
  3. Классификация событий. Пространство элементарных событий.
  4. Действия над событиями. Диаграммы Венна.
  5. Классическое определение вероятности события, свойства вероятности.
  6. Аксиоматическое, статистическое и геометрическое определение вероятности.
  7. Теорема сложения вероятностей.
  8. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
  9. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
  10. Повторные испытания. Формула Бернулли.
  11. Локальная теорема Муавра-Лапласа. Интегральная теорема Лапласа. Теорема Пуассона.
  12. Случайные величины. Типы случайных величин. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Многоугольник распределения.
  13. Гипергеометрическое распределение, параметры.
  14. Геометрическое распределение, параметры.
  15. Биномиальное распределение; параметры, числовые характеристики
  16. Распределение Пуассона; параметры.
  17. Математические операции над случайными величинами.
  18. Математическое ожидание дискретной случайной величины. Свойства математического ожидания.
  19. Дисперсия дискретной случайной величины. Свойства дисперсии.
  20. Функция распределения вероятностей одномерной случайной величины. Свойства функции распределения. Функция плотности распределения вероятностей одномерной случайной величины, свойства функции плотности.
  21. Числовые характеристики непрерывных случайных величин.
  22. Равномерное распределение, параметры, числовые характеристики.
  23. Нормальное распределение. Стандартное нормальное распределение. Функция Лапласа. Правило трех сигм.
  24. Показательное (экспоненциальное) распределение, параметры, числовые характеристики.
  25. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема.
  26. Задачи математической статистики.
  27. Первичная обработка экспериментальных данных.
  28. Выборочная функция распределения.
  29. Выборочные оценки числовых характеристик случайной величины.
  30. Понятие оценки параметра, общие требования к оценке параметра
  31. Выборочная оценка математического ожидания, ее свойства
  32. Выборочная оценка дисперсии, ее свойства
  33. Метод моментов для точечной оценки параметров непрерывного равномерного распределения.
  34. Метод моментов для точечной оценки параметра р биномиального распределения.
  35. Оценки метода максимального правдоподобия параметров нормального распределения
  36. Оценка метода максимального правдоподобия параметра p геометрического распределения.
  37. Оценки метода моментов параметров нормального распределения
  38. Интервальные оценки. Доверительный интервал и доверительная вероятность. Уровень значимости. Точность интервальной оценки.
  39. Непрерывные распределения, используемые в математической статистике.
  40. Доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной случайной величины при известной дисперсии
  41. Доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной случайной величины при неизвестной дисперсии
  42. Доверительный интервал для дисперсии нормально распределенной случайной величины
  43. Статистическая гипотеза. Проверка статистических гипотез. Нулевая гипотеза, альтернативная гипотеза. Примеры статистических гипотез. Ошибки I и II рода. Статистический критерий. Уровень значимости и мощность критерия. Критическая и допустимая области. Односторонняя и двусторонняя критические области. Общая схема проверки гипотезы.
  44. Критерий согласия 2 Пирсона
  45. Проверка гипотезы о числовом значении математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии
  46. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух нормальных распределений при известных дисперсиях
  47. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух нормальных распределений при неизвестных, но равных дисперсиях
  48. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных распределений
  49. Проверка гипотезы о равенстве вероятностей двух биномиальных распределений
  50. Проверка значимости коэффициента корреляции.

6. Литература по дисциплине


6.1. Основная литература.


1. Бауман Е.В., Шапошникова Г.А. Теория вероятностей. Учебно-методическое пособие по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика». Выпуск 1. – М.: ВАВТ, 2002.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 1998.

3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Высшая школа, 1998.

4. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Юнити, 2000.

5 Сборник задач по высшей математике для экономистов. Учебное пособие под ред. В.И. Ермакова. - М.: Инфра-М, 2001.

6. Русаков А.А., Спиридонова Т.А. Математическая статистика. Проверка статистических гипотез. Учебно-методическое пособие по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика». - М.: ВАВТ, 2003.

7.Спиридонова Т.А. Математическая статистика. Оценка параметров. Учебно-методическое пособие по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика». Выпуск 2. – М.: ВАВТ, 2002.

8. Спиридонова Т.А, Шапошникова Г.А. Законы распределения случайных величин. Учебно-методическое пособие по дисциплине: «Теория вероятностей и математическая статистика». - М.: ВАВТ, 2008.

6.2. Дополнительная литература

1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. - М.: Юнити, 1998.

2. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Физматлит, 2005.

3. Вероятностные разделы математики. Под ред. Ю.Д.Максимова. – СПб.: Иван Федоров, 2001.

4. Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели в управлении. - М.: Дело, 2000.

5. Сигел Э.Ф. Практическая бизнес-статистика. - М., СПб., Киев.: Вильямс, 2002.

6. Шведов А.С. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Издательский дом ГУ ВШЭ, 2005.


6.3. Перечень компьютерных программ.

STATISTICA, SPSS, EXCEL.


Тираж _______ экз. Заказ № _________


Отпечатано в ГОУ ВПО Всероссийская академия внешней торговли

Минэкономразвития России. 119285, г. Москва, ул. Пудовкина, 4а.