Geum.ru

Конспект лекций по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика"

Вид материалаКонспект
Подобный материал:
1   2   3   4   5   6   7   8
Двумерной плотностью вероятности случайного процесса называется плотность вероятности системы двух случайных величин и , которые являются значениями случайного процесса для различных значений аргументов и .

Основные свойства двумерных плотностей вероятности:

1. .

2. .

Двумерных плотностей вероятностей достаточно для так называемой корреляционной теории случайных процессов. Однако для получения исчерпывающей характеристики случайного процесса надо увеличивать число аргументов плотности вероятности.

Математическим ожиданием случайного процесса называется неслучайная функция

.

Дисперсией случайного процесса называется неслучайная функция

.

Корреляционной функцией случайного процесса называется неслучайная функция двух аргументов , которая при каждой паре значений и равна корреляционному моменту соответствующих значений случайного процесса:

.

Корреляционная функция имеет следующие свойства:

  1. При корреляционная функция превращается в дисперсию случайного процесса :


  1. Корреляционная функция симметрична относительно своих аргументов


  1. .
  2. Если к случайному процессу прибавить неслучайную функцию , то его корреляционная функция не изменится.
  3. Если умножить случайный процесс на неслучайную функцию , то его корреляционная функция умножится на .

Нормированной корреляционной функцией случайного процесса называется функция

.

Корреляционной функцией связи случайных процессов и называется корреляционный момент случайных величин и , т.е. выражение

.

Если =0, то случайные процессы называются некоррелированными.

Стационарным случайным процессом в широком смысле называется такой случайный процесс , математическое ожидание которого постоянно, а корреляционная функция зависит только от разности аргументов, т.е.

б

где .

Случайный процесс называют стационарным в узком смысле, если все его многомерные плотности вероятности при любом n зависят только от интервалов , …, и не зависят от положения этих интервалов в области изменения аргумента t.

Корреляционная функция стационарного процесса обладает следующими свойствами:

  1. .
  2. .


.

Случайный процесс называется марковским процессом, если для любого момента времени t0 при фиксированном (каково бы ни было х) случайные величины при не зависят от случайных величин при . Если условиться считать состоянием некоторой физической системы S в момент времени t, то случайный процесс называется марковским, если для каждого момента времени вероятность любого состояния системы в будущем (при ) зависит только от состояния в настоящем (при ) и не зависит от ее поведения до этого момента.

Марковские процессы могут быть с дискретными и непрерывными состояниями.

При анализе марковских процессов с дискретными состояниями удобно пользоваться так называемым графом состояний. Граф состояний изображает различные состояния системы и возможные переходы из состояния в состояние (рис. 9.1)



Рис. 9.1

Марковский случайный процесс с дискретными состояниями называется процессом с дискретным временем, если переходы системы из состояния в состояние возможны только в строго определенные заранее фиксированные моменты времени . В промежутке времени между этими моментами система S сохраняет свое состояние.

Марковский случайный процесс c дискретными состояниями называется процессом с непрерывным временем, если переходы системы из состояния в состояние возможны в любые случайные моменты времени t.

Марковский процесс с дискретным временем можно рассматривать как функцию целочисленного аргумента: (номер шага перехода).

Тогда означает состояние системы через k шагов.

Последовательность переходов (событий)

…, …

называется марковской цепью.

Вероятности

,

определяющие возможные переходы системы S на -м шаге из состояния (независимо от предшествующих обстоятельств) в состояние , называются переходными вероятностями.

Если переходные вероятности не зависят от номера шага, марковская цепь называется однородной, в противном случае – неоднородной.

Матрица

,

элементами которой являются вероятности перехода для каждого состояния за один шаг, называется матрицей перехода.

Очевидно, что эти переходы образуют полную группу событий, так что для каждой строки имеет место равенство

, .

Следовательно, вероятность того, что система не выйдет из состояния , определяется равенством

.

Для описания марковского процесса, протекающего в системе с дискретными состояния и дискретным временем, пользуются вероятностями состояний



того, что система через шагов находится в состоянии ,

Вероятности удовлетворяют условию

.

Вероятности состояний после -го шага определяются рекуррентной формулой

, .

Для определения вероятностей состояний после 1-го шага по данной рекуррентной формуле необходимо знать начальные условия, т.е. вероятность , начального состояния системы .

Для марковского процесса, протекающего в системе с дискретными состояниями и непрерывным временем, вероятности состояний () в любой момент времени определяются из системы дифференциальных уравнений Колмогорова:

, ,

где обозначают плотность потока событий, переводящих систему из состояния в состояние (для марковского процесса все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние, являются пуассоновскими).

При интегрировании системы дифференциальных уравнений Колмогорова должны быть указаны начальные условия, характеризующие состояние системы в начальный момент времени (при ).

ПРИМЕР.

Случайный процесс задан в виде , где - распределенная по нормальному закону случайная величина с параметрами ; , . Найти одномерную плотность распределения вероятности , математическое ожидание , дисперсию и корреляционную функцию .

РЕШЕНИЕ.

.

.

Так как центрированный случайный процесс

, то

.

Значение случайного процесса является нормально распределенная случайная величина, поэтому одномерная плотность вероятности имеет

.

ПРИМЕР.

Акции некоторой компании были выброшены для продажи на рынок в моменты времени , , . Возможные состояние компании: - состояние компании устойчивое; - состояние компании немного ухудшилось; - состояние компании существенно ухудшилось; - компания обанкротилась. Соответствующий граф состояния компании показан на рис. 9.2.



Рис. 9.2

Определить вероятность состояния компании после трех продаж акций на рынке.

РЕШЕНИЕ.

Из графа состояния имеем , , и

Аналогично находим , , , , , , , , , , , .

Таким образом, матрица переходных вероятностей имеет вид



Так как в начальный момент компания находилась в состоянии , то вероятности всех состояний компании для начального момента равны нулю, кроме вероятности начального состояния , которая равна единице, т.е. , .

Вероятности состояний компании после первой распродажи акций берутся из первой строки матрицы перехода: , , , .

Вероятности состояний компании после второй распродажи акций вычисляем по рекуррентной формуле при :









Вновь применяя рекуррентную формулу при , определяем вероятности состояний компании после третьей распродажи акции:









Итак, после трех распродаж акций

  1. компания находится в устойчивом состоянии с вероятностью ;
  2. состояние компании немного ухудшится (вероятность );
  3. состояние компании существенно ухудшится (вероятность );
  4. компания обанкротится с вероятностью