Конспект лекций по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика"

Вид материала

Конспект

Содержание Гауссов закон распределения 6. Системы случайных величин

Подобный материал:

• Рабочая учебная программа дисциплины (модуля) Теория вероятностей и математическая, 217.23kb.
• Примерная программа наименование дисциплины «теория вероятностей и математическая статистика», 165.37kb.
• Рабочая программа дисциплины "теория вероятностей и математическая статистика", 112.61kb.
• Рабочая программа учебной дисциплины теория вероятностей и математическая статистика, 830.1kb.
• Рабочая программа учебной дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика», 165.42kb.
• Программа курса лекций "Теория вероятностей и математическая статистика", 18.69kb.
• Примерная рабочая программа по дисциплине: «теория вероятностей, математическая статистика, 83.07kb.
• Программа по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов, 206.05kb.
• А. С. Гринберг О. Б. Плющ Б. В. Новыш Теория вероятностей и математическая статистика, 1813.61kb.
• Программа-минимум кандидатского экзамена по специальности, 37.75kb.

равномерное распределение на отрезке , если ее плотность распределения



Математическое ожидание равномерного распределения находится посредине отрезка его распределения, т.е.

.

а дисперсия

.

Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины Х на интервал , вычисляется по формуле:

.

Непрерывная случайная величина Х имеет показательное (или “экспоненциальное”) распределение, если плотность распределения



Функции распределения для показательного закона имеет вид



 


 

 

 

 

 

 

 

Плотность распределения показательного закона



Функция распределения показательного закона

Для случайной величины, распределенной по показательному закону, математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение равны между собой и равны , т.е.

.

В некоторых случаях используют коэффициент вариации, , равный отношению среднеквадратичного отклонения к математическому ожиданию:

.

Для показательного закона распределения коэффициент вариации .

Для показательного распределения вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале , определяется формулой

.

Замечательным свойством показательного распределения является то, что при наступлении события случайная величина имеет такой же закон распределения, как и величина Х. Это свойство объясняет, почему показательное распределение имеют такие случайные величины, как время обслуживания клиента, длительность телефонного разговора, время безотказной работы прибора и т.д.

Непрерывная случайная величина Х называется распределенной по гауссовому закону (закону Гаусса или по нормальному закону), если ее плотность распределения вероятности имеет вид

,

где и - соответственно математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение случайной величины Х.

Закон Гаусса играет исключительно важную роль в теорию вероятностей и занимает среди других законов распределения особое положение.

Кривая нормального распределения имеет симметричный вид.



Гауссов закон распределения

Вероятность попадания случайной величины, распределенной по закону Гаусса (нормально распределенной) в интервале вычисляется по формуле



где - табулированная функция Лапласа (интеграл вероятностей).

Для функции Лапласа в книгах по теории вероятностей приведены таблицы.

Функция Лапласа обладает следующими свойствами:

1. 
   Ф(0)=0;
   
2. Ф(-х)=-Ф(х);
   
3. Ф(+)=0,5. (Ф(-)=-0,5).
   

Закон Гаусса широко распространен в случайных явлениях природы. Он возникает в тех случаях, когда складывается много независимых (или слабо зависимых) случайных величин Х₁, Х₂, … Х_n:

,

причем эти величины сравнимы по порядку своего влияния на рассеивание суммы. Тогда, каковы бы ни были законы распределения отдельных величин Х₁, Х₂, … Х_n, закон распределения их суммы Х будет близок к закону Гаусса (причем тем ближе, чем больше число слагаемых n).

ПРИМЕР. Случайная величина распределена по закону Гаусса и имеет параметры и . Найти вероятность того, что случайная величина Х отклонится от своего математического ожидания на величину больше, чем 3.

РЕШЕНИЕ.



По таблицам функции Лапласа находим . Тогда .

Это – действительно малая вероятность.

Заметим, что само “правило трех сигма” ведет свое начало именно от нормального распределения. Для нормального закона это правило выполняется с очень высокой точностью; применяя его, мы будем ошибаться приблизительно в трех случаях из 1000.

 

6. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Совокупность n случайных величин (Х₁, Х₂, … Х_n), рассматриваемых совместно, называется системой n случайных величин или n-мерной случайной величиной.

В частном случае при n=2 имеем систему случайных величин (X, Y), которая геометрически интерпретируется как случайная точка с координатами (x, y) на плоскости x0y (рис. 6.1.) или как случайный вектор, направленный из начала координат в точку (x, y).



Рис. 6.1

Законами распределения системы двух дискретных случайных величин с конечным числом возможных значений являются таблица распределения и функция распределения, а для системы непрерывных случайных величин – функция распределения и плотность распределения. В таблице распределения указываются вероятности того, что случайная величина Х примет значение и одновременно с этим случайная величина Y примет значение , , (рис.6.2).

			…
			…
			…
…	…	…	…	…
			…

            Рис. 6.2.

Все возможные события , , образуют полную группу событий, поэтому

.

При этом

.

Наиболее общей формой закона распределения системы случайных величин является функция распределения.

Функцией распределения системы n случайных величин (Х₁, Х₂, … Х_n) называется вероятность совместного выполнения n неравенств , :

.

Для системы двух случайных величин (X, Y) функция распределения является вероятностью выполнения двух неравенств:

.

Геометрически функция распределения интепретируется как вероятность попадания случайной точки (X, Y) в левую нижнюю часть квадрата плоскости с вершиной в точке (рис. 6.3).



Рис. 6.3

Основные свойства функции распределения для системы случайных величин очевидны из данной геометрической интепретации:

1.

2.

3.

4.

5. Функция распределения является неубывающей функцией по каждому аргументу:

, если

, если

6. Вероятность попадания случайной точки (X, Y) в произвольный прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям (рис. 6.4) вычисляется по формуле

.



Рис. 6.4

При изучении непрерывных систем случайных величин (каждая случайная величина, входящая в систему, непрерывна) чаще всего используют плотность распределения.

Если функция распределения дифференцируема по каждой переменной, то плотность вероятности



Аналогично для системы двух случайных величин (X, Y)

, а .

Поверхность, изображающая функцию , называется поверхностью распределения.

Плотность вероятности системы двух случайных величин имеет следующие свойства, которые легко обобщаются на систему случайных величин большей размерности:

1. .

2. .

3. Плотности распределения отдельных величин, входящих в систему (X, Y), выражаются через плотность вероятности системы формулами:

; .

4. Условные плотности вероятности выражаются через безусловные по формуле:

при .

при

5. Вероятность попадания случайной точки в область D плоскости x0y определяется по формуле .

Случайные величины Х и Y называются независимыми, если условный закон распределения одной из них не зависит от того, какое значение примет другая:

и .

Для независимых случайных величин

.

Основными числовыми характеристиками системы двух случайных величин (Х, Y) являются следующие.

1. 
   Математические ожидания и .
   

Для системы дискретных случайных величин

.

.

Для системы непрерывных случайных величин

.

.

2. Дисперсии и .
   

Для системы дискретных случайных величин

.

.

Для системы непрерывных случайных величин

.

.

3. Корреляционный момент , характеризующий линейную связь между случайными величинами Х и Y, а также их разброс вокруг точки
   

Для системы дискретных случайных величин корреляционный момент равен:



Для системы непрерывных случайных величин



Для независимых случайных величин корреляционный момент равен нулю. Однако случайные величины могут быть зависимыми, но некоррелированными . Корреляционный момент удобно вычислять по формуле



Размерность корреляционного момента равна произведению размерностей случайных величин X и Y. Чтобы получить безразмерную величину к тому же характеризующую только степень линейной зависимости между случайными величинами X и Y, а не их разброс относительно точки , вводят коэффициент корреляции:

.

Еще раз подчеркнем, что коэффициент корреляции характеризует степень линейной зависимости между случайными величинами. Если линейной зависимости нет, то . Если между случайными величинами существует жесткая функциональная зависимость:



то коэффициент корреляции , где знак плюс берется в случае, когда а>0, а знак минус, когда а<0. В случае, когда , говорят, что X и Y связаны положительной корреляцией, а когда - отрицательной корреляцией. При возрастании одной случайной величины в случае положительной корреляции другая проявляет тенденцию также возрастать, а при отрицательной корреляции - убывать.

Как уже отмечалось, из независимости случайных величин следует их некоррелированность, но их некоррелированности () еще не вытекает из независимость. Если , это означает только отсутствие линейной связи между случайными величинами; любой другой вид связи может при этом присутствовать.

Для системы n случайных величин (Х₁, Х₂, … Х_n) корреляционный момент записывается следующим образом:

,

если случайные величины непрерывны, а для дискретных случайных величин интегрирование заменяется суммированием по всем возможным значениям случайных величин.

Свойства корреляционного момента следующие:

1. 
   , т.е. при перемене индексов местами корреляционный момент не меняется.
   
2. , если случайные величины X и Y независимы.
   
3. .
   
4. Если , то .
   
5. 
   

Корреляционной матрицей системы n случайных величин (Х₁, Х₂, … Х_n) называется матрица, составленная из корреляционных моментов всех этих величин взятых попарно:

,

где .

Так как , то элементы корреляционной матрицы, расположенные симметрично главной диагонали, равны. Поэтому обычно заполняется только половина корреляционной матрицы:

.

По главной диагонали корреляционной матрицы стоят дисперсии случайных величин системы:

; ; …; .

Нормированной корреляционной матрицей системы n случайных величин называется матрица, составленная из коэффициентов корреляции всех этих величин, взятых попарно:

,

где - коэффициент корреляции между случайными величинами и .

В заключение отметим, что для случайных величин распределенных по закону Гаусса термины “независимость” и “некоррелированность” эквиваленты, т.е. если две нормально распределенные случайные величины Х и Y некоррелированны, то они и независимы.

ПРИМЕР.

Два стрелка, независимо друг от друга, делают по одному одиночному выстрелу каждый по своей мишени. Пусть случайная величина Х – число попаданий первого стрелка, Y – число попаданий второго стрелка. Вероятность попадания для первого стрелка р=0,8, для второго р=0,6. Построить матрицу распределения системы случайных величин (Х, Y).

РЕШЕНИЕ.

Возможные значения случайных величин Х и Y:

; ; ; .

Возможные пары значений системы случайных величин:

(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1).

Соответствующие этим парам вероятность вычисляем пользуясь теоремой умножения для независимых событий.

Имеем:

.

.

.

.

Матрица распределения системы случайных величин имеет вид

	0	1
0	0,08	0,12
1	0,32	0,48

.





.









.

Это следует и из условия задачи, в котором сказано, что стрелки стреляют независимо друг от друга. Следовательно, случайные величины Х и Y независимы, а из этого следует их некоррелированность.

ПРИМЕР.

Дана корреляционная матрица системы случайных величин (Х₁, Х₂, Х₃) вида

.

Найти нормированную корреляционную матрицу.

РЕШЕНИЕ.

Т.к. ; ; , то ; ; .

; .

; .

; ; .

.