Конспект лекций по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика"

Вид материала

4. Случайные величины и их законы распределения.
Законом распределения
Функцией распределения
Плотность распределения случайной величины
Числовые характеристики случайной величины
Начальным моментом S-го порядка
5. Распределения случайных величин, важные для практики

Подобный материал:

1 2 3 4 5 6 7 8

4. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Случайной величиной называется величина Х, которая в результате опыта может принимать то или иное значение (но только одно), причем, до опыта, не известно, какое именно.

Случайные величины могут быть дискретными или непрерывными. Дискретная случайная величина может принимать конечное или бесконечное счетное множество различных значений.

Пример дискретной случайной величины: Х – число появлений герба при четырех бросаниях монеты (возможные значения 0, 1, 2, 3, 4).

Множество значений непрерывной случайной величины занимает какой-то участок числовой оси, границы которого могут быть как зафиксированными, так и неопределенными.

Пример непрерывной случайной величины: У – время ожидания автобуса на остановке.

Случайная величина считается полностью заданной, если задан ее закон распределения, который может иметь разные формы.

Законом распределения дискретной случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Законами распределения дискретной случайной величины являются: 1) ряд распределения; 2) многоугольник распределения; 3) функция распределения. Законами распределения непрерывной случайной величины являются: 1) функции распределения; 2) плотность распределения случайной величины.

Дискретная случайная величина

Рядом распределения случайной величины Х называется таблица, в которой перечислены возможные значения х₁, х₂, …, х_n случайной величины Х и соответствующие им вероятности р₁, р₂, …, р_n, где р_і=Р(Х=х_і), а

х_і	х₁	х₂	…	х_n
р_і	р₁	р₂	…	Р_n

Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником распределения.

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), равна вероятности Р(Х<х) того, что случайная величина Х будет меньше произвольно выбранного значения х.

Функция распределена F(x) для дискретной случайной величины Х вычисляется по формуле

,

где суммирование ведется по всем значениям і, для которых

.

ПРИМЕР. Проводится три независимых опыта (например, бросание монеты), в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р=0,5. Пусть случайная величина Х – это чисто появлений события А в трех опытах. Определить законы распределения случайной величины Х.

РЕШЕНИЕ. Случайная величина Х может принимать следующие значения: х₁=0; х₂=1; х₃=2; х₄=3. Вероятность Р(Х=х_і)=р_і определяются по формуле Бернулли (частная теорема повторения опытов):

;

Таким образом, ряд распределения случайной величины Х имеет вид:

х_і	0	1	2	3
р_і	1/8	3/8	3/8	1/8

Очевидно, что

.

Многоугольник распределения показан ниже на рисунке 1.

Рис. 4.1. Многоугольник распределения

Построим функцию распределения случайной величины Х:

при х 0,

;

при 0<х 1,

;

при 1<х

;

при 2<х

;

при x>3,

;

График функции распределения представлен ниже.

Рис. 4.2. Функции распределения

Функции распределения как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин, имеет следующие свойства, которые наглядно следуют из следующей ее геометрической интерпретации. Так как

, то ее можно интерпретировать как вероятность того, что случайная точка Х попадет левее заданной точки Х.

Из этой геометрической интерпретации получаем свойства:

1. F(x) – неубывающая функция своего аргумента, т.е. если x₂>x₁, то F(x₂)

F(x₁).

2. F 

 =0.

3. F +

 =1.

4. 0

F(x)

1.

5. Вероятность появления случайной величины в интервале [ ,  ), полузамкнутом слева, равна приращению функции распределения на этом интервале:

.

6. Величина скачка функции распределения в точке разрыва равна вероятности появления случайной величины в этой точке.

Для непрерывной случайно величины функция F х везде непрерывна, а следовательно, величина скачка в любой точке и вероятность каждого отдельного значения случайной величины Х равны нулю. С первого взгляда этот вывод может показаться парадоксальным. Но теорема сложения для несчетного количества событий несправедлива. Поэтому вероятность попадания случайной величины на участок от  до  равна сумме вероятностей попадания на элементарные участки, образующие его, как бы малы этим участки ни были, но не равны сумме вероятностей попадания в отдельные точки. Аналогия: фигура состоит из точек с нулевой площадью, но ее площадь не равна сумме их площадей.

Для непрерывных случайных величин наиболее часто используется такой закон распределения, как плотность распределения.

Плотность распределения случайной величины

Плотностью распределения (или плотностью вероятности, иногда просто плотностью) случайной величины Х в точке х называется производная ее функции распределения в этой точке. Будем обозначать ее f(x). Тогда

.

Очевидно также, что функции распределения выражается через плотность распределения следующим образом:

.

Поэтому функцию распределения называют интегральным законом распределения, а плотность распределения – дифференциальным законом распределения. График плотности f(x) называют кривой распределения.

Из свойств функции распределения вытекают основные свойства плотности распределения случайной величины:

Плотность распределения неотрицательна:

f(x)

.
Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое-нибудь значение их промежутка   ,  ), равна

.

Законы распределения являются исчерпывающими характеристиками случайных величин. Однако в практике не всегда требуется такое полное описание случайной величины; зачастую достаточно бывает указать лишь отдельные числовые параметры случайной величины (числовые характеристики), среди которых наибольшую роль играют такие числовые характеристики, как математическое ожидания и дисперсия случайной величины.

Числовые характеристики случайной величины

Математическим ожиданием случайной величины Х называется ее среднее значение, вычисляемое по формуле:

- для дискретной случайной величины;

- для непрерывной случайной величины.

ПРИМЕР. Дискретная случайная величина Х имеет следующие распределения:

х_і	1	3	8
р_і	0,6	0,3	0,1

Найти математическое ожидание m_x.

РЕШЕНИЕ.

.

ПРИМЕР. Непрерывная случайная величина Х имеет плотность распределения вида:

. Найти математическое ожидание случайной величины Х.

.

Математическое ожидание случайной величины связано со средним арифметическим ее наблюденных значений при большом числе опытов. При достаточно большом числе опытов среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины приближенно равно ее математическому ожиданию.

Кроме математического ожидания характеристиками положения случайной величины являются такие ее характеристики, как мода и медиана.

Модой М₀ случайной величины называется ее наиболее вероятное значение (то значение х, для которого вероятность Р(Х=х) или плотность распределения f(x) достигают максимума).

Если вероятность или плотность распределения достигают максимума не в одной, а в нескольких точках, распределение называется полимодальным; а если в одной точке – то унимодальным.

Медианой М_е непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение, для которого

.

Геометрически медиана – это абсцисса той точки на оси х, для которой площади по f(x), лежащие слева и справа от нее, одинаковы и равны ?.

Рис. 4.3. Определение моды и медианы случайной величины

Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание от квадрата разности между случайной величиной и ее математическим ожиданием. Дисперсия обозначает D[X] или

.

Для дискретной случайной величины

.

Для непрерывной случайной величины

.

Для вычисления дисперсии удобно использовать также следующую формулу, которая легко получается из первой:

;

.

Дисперсия случайной величины характеризует рассеивание, разбросанность случайной величины около ее математического ожидания. Само слово “дисперсия” означает “рассеивание”.

Дисперсия имеет размеренность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому из дисперсии извлекают квадратный корень. Полученная величина

называется среднеквадратичным отклонением (или “стандартом”, “стандартным отклонением”) случайной величины.

.

Зная m_x и

случайной величины Х, можно составить себе приближенное представление о диапазоне ее возможных значений. А именно, значения случайной величины Х только изредка выходят за пределы интервала m±3

. Это правило носит название “правила трех сигма”.

ПРИМЕР. Найти дисперсию случайной величины, имеющей следующий ряд распределения:

х_і	0	2	5
р_і	0,3	0,5	0,2

РЕШЕНИЕ. Вначале находим математические ожидания.

.

Для вычисления дисперсии воспользуемся второй формулой:

.

Из определения математического ожидания и дисперсии следуют некоторые простейшие и достаточно очевидные свойства этих числовых характеристик.

Математическое ожидание неслучайной величины с равно самой величине С:

M[C]=C.

Дисперсия неслучайной величины С равна нулю:

D[C]=0.

M[X+C]=M[X]+C.
D[X+C]=D[X].
M[cX]=cM[X].
D[cX]=c²D[X], и, следовательно,

.

Кроме рассмотренных выше числовых характеристик применяют характеристики, называемые начальными и центральными моментами случайной величины Х.

Начальным моментом S-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание S-й степени этой величины:

.

Для дискретной случайной величины начальный момент S-го порядка определяется суммой:

,

а для непрерывной – интегралом:

.

Как видно, математическое ожидание – это первый начальный момент случайной величины. Перед тем как дать определение центральных моментов введем понятие “центрированной случайной величины”, как ее отклонения от математического ожидания:

,

где

- центрированная случайная величина.

Центральным моментом порядка S случайной величины Х называется математическое ожидание S-й степени центрированной случайной величины:

.

Для дискретной случайной величины центральный момент выражается суммой:

;

для непрерывной – интегралом:

.

Очевидно, что

.

Таким образом, второй центральный момент случайной величины – это ее дисперсия, характеризующий, как уже указывалось, рассеивание случайной величины около ее математического ожидания.

Третий центральный момент

служит для характеристики асимметрии (“скошенности”) распределения. Если распределение симметрично относительно m_x то все центральные моменты нечетного порядка, если они существуют, равны нулю. Разделив третий центральный момент

на куб ее среднеквадратичного отклонения, получают безразмерный коэффициент

, который называется коэффициентом асимметрии:

.

Ниже на рисунке изображены три распределения случайных величин; одна из них имеет положительную асимметрию, у второй

=0, а третья имеет отрицательную асимметрию (

<0).

Рис. 4.4. Коэффициент асимметрии для различных случайных величин

Четвертый центральный момент

служит для характеристики островершинности (“крутости”) распределения. Он входит в выражение для коэффициента Е_х, называемого эксцессом:

Для очень островершинных плотностей распределения Е_х>0, а для плосковершинных Е_х<0.

Рис. 4.5. Плотности распределения с различным коэффициентом Е_х.

Для нормального закона распределения, который будет рассмотрен ниже, Е_х=0.

5. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН, ВАЖНЫЕ ДЛЯ ПРАКТИКИ

Биномиальное распределение имеет место в том случае, когда случайная величина Х выражает число появлений некоторого события А при n независимых испытаниях, проводимых в одинаковых условиях. Вероятность появления события А в каждом опыте постоянна и равна р.

Возможными значениями биномиально распределенной случайной величины Х являются 0, 1, 2, …, n, а вероятность того, что Х=m, выражается формулой Бернулли:

, где q=1-p

Математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону,

, а дисперсия

.

Закон Пуассона (закон редких явлений) являющийся предельным для биномиального закона, когда число опытов неограниченно увеличивается (

) и одновременно параметр р неограниченно уменьшается (

), но так, что их произведение np сохраняется в пределе постоянным (

).

Возможными значениями случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона, являются числа 0, 1, 2, …, а вероятность того, что X=m, выражается формулой

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, равны между собой и равны параметру

, т.е.

Непрерывная случайная величина Х имеет

Blog

Конспект лекций по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика"