Конспект лекций по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика"

Вид материала

7. Числовые характеристики функций случайного аргумента
8. Предельные теоремы теории вероятностей
Теорема Бернулли
Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых
9. Основные понятия случайных процессов

Подобный материал:

1 2 3 4 5 6 7 8

7. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНОГО АРГУМЕНТА

Во многих случаях необходимо рассматривать две случайные величины Х и Y, причем каждому значению случайной величины Х ставится в соответствие определенное значение случайной величины Y. В этом случае говорят, что Y является функцией от Х:

Примеры случайных функций:

;

.

Возникает задача: зная закон распределения случайной величины Х, а в некоторых случаях только ее отдельные числовые характеристики, найти числовые характеристики случайной величины Y.

Если известен закон распределения случайной величины Х, то характеристики случайной величины

определяются по формулам:

- для дискретной случайной величины Х;

- для непрерывной случайной величины.

- для дискретной случайной величины;

- для непрерывной случайной величины.

Аналогично определяются начальные и центральные моменты любых порядков случайной величины Y:

- для дискретной случайной величины,

а для непрерывной

.

Итак, для нахождения числовых характеристик функции случайных величин вовсе не нужно знать ее закон распределения, а достаточно знать закон распределения аргумента.

Числовые характеристики функции нескольких случайных аргументов

, если известна совместная плотность распределения

системы аргументов определяются аналогичными формулами. Например, для непрерывной системы аргументов математическое ожидание и дисперсия функции равны:

.

Во многих задачах финансово-экономической практики числовые характеристики случайной величины

могут быть определены как некоторые функции числовых характеристик системы случайных величин

. В этом случае не требуется знать закон распределения системы аргументов, а достаточно знать лишь числовые характеристики этой системы.

Приведем ряд теорем о числовых характеристиках функций случайных величин, которые могут быть использованы в практике (некоторые из них уже были приведены ранее).

Как видно из теоремы 9 дисперсия суммы случайных величин равна сумме всех элементов корреляционной матрицы

этих случайных величин.

Если случайные величины некоррелированы, то

Теорема сложения дисперсий справедлива и для случая, когда случайные величины независимы, так как из независимости случайных величин следует их некоррелированность.

Эту теорему часто используют для вычисления корреляционного момента:

Если случайные величины некоррелированы, то

Последняя теорема обобщается и на произвольное число независимых сомножителей:

Дисперсия произведения независимых случайных величин выражается формулой

.

И, наконец, приведем основные теоремы для корреляционного момента:

.
.
При сложении некоррелированных случайных векторов их корреляционные моменты складываются, т.е. если , , , то .
Для любых случайных величин Х и У .

8. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Опыт учит, что при очень большом числе случайных явлений средний их результат практически перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности. Это положение, по существу, представляет собой физическое содержание закона больших чисел. В узком смысле слова под "законом больших чисел" понимается ряд математических теорем, в каждой из которых для тех или иных условий устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа опытов к определенным постоянным, неслучайным величинам. Доказательство этих теорем опираются на неравенство Чебышева, которое является для них леммой.

Неравенство Чебышева. Для любой случайной величины Х, имеющей математическое ожидание

и дисперсию

, справедливо неравенство:

;

где   0 - любое положительное число.

Данное неравенство ограничивает сверху вероятности больших отклонений случайной величины от ее математического ожидания.

Вторая форма неравенства Чебышева имеет вид:

.

Как следствие, из неравенства Чебышева можно получить неравенство Маркова:

если, среди значений случайной величины Х нет отрицательных, то

,

где

.

ПРИМЕР.

Вероятность некоторого события А в каждом из 1000 опытов равна 0,4. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что отклонение числа наступлений события А от математического ожидания будет не более 40.

РЕШЕНИЕ.

Случайная величина Х - число свершения события А в n=1000 опытах, подчинена биномиальному закону распределения. Поэтому

, а

.

Неравенство Чебышева дает следующую оценку:

.

ПРИМЕР.

Математическое ожидание количества осадков в течение года в данной местности составляет 100 см. Определить вероятность того, что в следующем году в этой местности осадков выпадет не менее 200 см.

РЕШЕНИЕ.

Используя неравенство Маркова, получаем

.

Используя неравенство Чебышева, оценим сверху вероятность того, что случайная величина Х с любым законом распределения отклонится от своего математического ожидания не больше, чем на

.

В действительности, для большинства случайных величин, встречающихся на практике, эта вероятность существенно больше, т.е. неравенство Чебышева дает нам оценку в первом, грубом приближении.

Перейдем к рассмотрению различных форм закона больших чисел. Во всех этих формах утверждается устойчивость средних: при неограниченном увеличении числа опытов n их средний результат приближается (сходится по вероятности) к некоторому постоянному, неслучайному числу.

Теорема Чебышева (устанавливает свойство устойчивости среднеарифметического). При неограниченном увеличении числа независимых опытов среднеарифметическое наблюденных значений случайной величины, имеющей ограниченную дисперсию

, сходится по вероятности к ее математическому ожиданию:

,

где

- сколь угодно малое положительное число.

При доказательстве теоремы Чебышева получаем такую оценку

.

Данная теорема относится и к случаю, когда все случайные величины

независимы и имеют одно и то же распределение, а значит одно и то же

и одну и ту же дисперсию

.

Теорема Чебышева распространяется и на более сложный случай, когда закон распределения случайной величины Х от опыта к опыту изменяется.

В этом случае имеет место обобщенная теорема Чебышева. Если

… - последовательность независимых случайных величин с математическими ожиданиями

, … и дисперсиями

, …, ограниченными одной и той же постоянной

, то для любого сколь угодно малого положительного числа

.

При доказательстве этого предельного равенства получаем следующую оценку:

.

Частным случаем теоремы Чебышева являются теоремы Бернулли и Пуассона.

Теорема Бернулли (устанавливает связь между частотой события и его вероятностью). При неограниченном увеличении числа независимых опытов частота

некоторого события А сходится по вероятности к его вероятности

.

где

- сколь угодно малое положительное число.

При доказательстве теоремы Бернулли получаем оценку

,

которая применяется на практике.

ПРИМЕР.

Сколько следует проверить приборов, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,9, можно было утверждать, что абсолютная величина отклонения частоты годных приборов от вероятности прибора быть исправным, равной 0,8, не превысит 0,01?

РЕШЕНИЕ.

В соответствии с оценкой из теоремы Бернулли имеем

.

Решая это неравенство относительно n, получаем

,

т.е. наименьшее число приборов, которые следует проверить, равно 16000.

Теорема Пуассона (устанавливает устойчивость частоты при переменных условиях опыта). Если производится n независимых опытов и вероятность появления события А в k–м опыте равна

, то при увеличении n частота

события А сходится по вероятности к среднеарифметическому вероятностей

где

- сколь угодно малое положительное число.

Одно из важнейших положений теории вероятностей – так называемая центральная предельная теорема. Как и закон больших чисел, она имеет ряд форм. Эти теоремы определяют условия возникновения нормального закона распределения (закона Гаусса). Такие условия часто встречаются на практике, что и объясняет широкую распространенность нормального закона в случайных явлениях природы.

Различные формы центральной предельной теоремы различаются между собой условиями, накладываемые на распределения образующих сумму случайных слагаемых

.

Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых

Если

независимые случайные величины, имеющие один и тот же закон распределения с математическим ожиданием

и дисперсией

, то при неограниченном увеличении n закон распределения суммы

неограниченно приближается к нормальному.

И тогда вероятность того, что случайная величина Y попадет в промежуток

, выражается формулой

,

где

- функция Лапласа;

;

.

Более общей является следующая теорема Ляпунова.

Пусть

- независимые случайные величины с математическими ожиданиями

и дисперсиями

, причем в сумме

нет слагаемых, влияние которых на рассеивание суммы подавляюще велико по сравнению с влиянием всех остальных, а также нет большого числа слагаемых, влияние которых на рассеивание суммы исчезающе мало по сравнению с суммарным влиянием остальных, то при

закон распределения случайной величины Y неограниченно приближается к нормальному.

ПРИМЕР.

Суммируется 24 независимых случайных величин, каждая из которых подчинена закону равномерной плотности распределения на интервале

. Написать приближенное выражение для плотности распределения суммы этих случайных величин.

РЕШЕНИЕ.

Математическое ожидание суммы

.

Дисперсия суммы

Среднеквадратичное отклонение суммы

.

В соответствии с центральной предельной теоремой можно считать, что случайная величина

подчинена нормальному закону.

Следовательно,

.

9. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Очень важным с практической точки зрения является опыт в котором каждому элементарному событию

пространства

соответствует не определенное числовое значение, а определенная числовая функция

некоторого неслучайного аргумента t, который чаще всего интерпретируется как время.

Совокупность всех функций

, получаемых при различных исходах

испытания, и образует случайный процесс

.

Для каждого значения t функция

является функцией только

и, следовательно, представляет собой случайную величину. Для каждого фиксированного значения аргумента

функция

зависит только от t и является функцией вещественного аргумента. Каждая такая функция называется реализацией случайного процесса.

Одномерной плотностью вероятности случайного процесса

называется плотность вероятности

случайной величины

, являющейся значением случайного процесса при фиксированном значении аргумента

Blog

Конспект лекций по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика"