Geum.ru

А. С. Гринберг О. Б. Плющ Б. В. Новыш Теория вероятностей и математическая статистика Курс лекций

Вид материалаКурс лекций

Содержание


Схема Пуассона. Поток событий
Теорема Пуассона
Понятие потока событий
Подобный материал:
1   ...   8   9   10   11   12   13   14   15   ...   26

Схема Пуассона. Поток событий


С увеличением чаще всего используют схему Пуассона. Эта схема является предельным случаем схемы Бернулли, в котором предполагается, что вероятность события не является постоянной, а зависит от числа испытаний таким образом, что величина остается постоянной. В этом случае оценка вероятности того, что событие наступит раз, определяется предельной теоремой Пуассона.

Теорема Пуассона


Теорема: Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и мала, а число независимых испытаний достаточно велико, то вероятность того, что событие наступит раз, приближенно равна:

,

где .

Доказательство: Пусть даны:

– вероятность наступления события в одном испытании;

– число независимых испытаний. Обозначим . Откуда . Подставим это выражение в формулу Бернулли:







.

При достаточно большом и сравнительно небольшом все выражения в скобках, за исключением предпоследнего, можно принять равными единице, т.е.:

.

Учитывая то, что достаточно велико, правую часть этого выражения можно рассмотреть при , т.е., поскольку:

,

справедливо равенство:

,

что и требовалось доказать.

Понятие потока событий


Формула Пуассона находит применение в теории массового обслуживания. Особенностью вероятностной схемы Пуассона является то, что для определения вероятности того или иного числа успехов не требуется знать ни , ни . Все определяется, в конечном счете, числом , которое является ни чем иным, как средним числом успехов. Формулу Пуассона можно считать математической моделью простейшего потока событий с интенсивностью .

Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени. Интенсивностью потока называют среднее число событий, которые появляются в единицу времени. Простейшим (пуассоновским) называют поток событий, который обладает свойствами стационарности, отсутствия последствий и ординарности.

Свойство стационарности характеризуется тем, что вероятность появления событий на любом промежутке времени зависит только от числа и от длительности промежутка времени и не зависит от начала его отсчёта, т.е., если поток событий стационарный, то вероятность есть функция, зависящая только от числа и от длительности .

Свойство отсутствия последствия характеризуется тем, что вероятность появления событий на любом промежутке времени не зависит от того, появлялись или не появлялись события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка. Другими словами, условная вероятность появления событий на любом промежутке времени, вычисленная при любых предположениях о том, чтó происходило до начала рассматриваемого промежутка (сколько событий появилось, в какой последовательности), равна безусловной вероятности. Предыстория потока не сказывается на вероятности появления событий. Потоку событий присуще свойство отсутствия последствий, если имеет место взаимная независимость появления того или иного числа событий в непересекающиеся промежутки времени.

Свойство ординарности характеризуется тем, что появление двух и более событий за малый промежуток времени практически невозможно. Другими словами, вероятность появления сразу нескольких событий (двух и более) пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью появления только одного события. Ординарность потока событий означает, что за бесконечно малый промежуток времени может появиться не более одного события.