А. С. Гринберг О. Б. Плющ Б. В. Новыш Теория вероятностей и математическая статистика Курс лекций
| Вид материала | Курс лекций |
- Рабочая программа дисциплины "теория вероятностей и математическая статистика", 112.61kb.
- Конспект лекций по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика", 1417.24kb.
- Рабочая учебная программа дисциплины (модуля) Теория вероятностей и математическая, 217.23kb.
- Примерная программа наименование дисциплины «теория вероятностей и математическая статистика», 165.37kb.
- Рабочая программа учебной дисциплины теория вероятностей и математическая статистика, 830.1kb.
- Рабочая программа учебной дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика», 165.42kb.
- Программа курса лекций "Теория вероятностей и математическая статистика", 18.69kb.
- Примерная рабочая программа по дисциплине: «теория вероятностей, математическая статистика, 83.07kb.
- Программа по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов, 206.05kb.
- Программа дисциплины «теория вероятностей и математическая статистика» Для направления, 198.58kb.
ТЕМА 2. ОСНОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТНЫЕ СХЕМЫ ИСПЫТАНИЙ
Лекция 2. Основные формулы вычисления вероятностей
Основные понятия:
полная группа событий; условная вероятность; формула умножения вероятностей; формула сложения вероятностей; независимые события; попарно независимые события; события, независимыми в совокупности; формула полной вероятности; формула Байеса; комбинаторика; соединение; размещение; перестановки; сочетания; правило суммы; правило произведения; схема Бернулли; формула Бернулли; формула Пуассона; локальная теорема Муавра – Лапласа; интегральная теорема Муавра – Лапласа.
Классическая вероятностная схема
Вероятность определена как числовая характеристика возможности появления случайного события. При этом предполагается, что условия эксперимента могут быть воспроизведены неограниченное число раз. Рассмотрим некоторый случайный эксперимент, для которого определено множество равновозможных элементарных исходов
. Равновозможность исходов есть проявление симметрии случайного эксперимента.Классической схемой, или схемой случаев, называется испытание, при котором число элементарных исходов конечно, и все они несовместны и равновозможны.
Пусть данный эксперимент имеет
возможных исходов и все они равновозможны (имеют одинаковые шансы) и несовместны (никакие два из них не могут наступить одновременно). Вероятность 
события 
называется отношение числа благоприятных исходов 
к общему числу несовместных равновозможных исходов :
.Это классическое определение вероятности удовлетворяет основным требованиям, предъявляемым к математическим определениям вероятностей, а именно, оно удовлетворяет аксиомам теории вероятности, а также позволяет определить вероятность событий a priori, т.е. не проводя экспериментов. Итак, чтобы пользоваться классическим определением вероятности, нужно уметь подсчитывать число благоприятных исходов
и общее число исходов . Раздел математики, в котором исследуются различные задачи на перебор, называется комбинаторикой. Кроме теории вероятностей комбинаторика используется в некоторых задачах экономики, биологии, теории вычислительных машин, теории автоматов и т.д.При решении ряда теоретических и практических задач требуется из конечного множества элементов по заданным правилам составлять различные комбинации и производить подсчет числа всех возможных таких комбинаций. Такие задачи принято называть комбинаторными.
Правила суммы и произведения
Решение многих комбинаторных задач основывается на двух фундаментальных правилах, называемых, соответственно, правилами суммы и произведения.
Правило суммы выражает вполне очевидный факт: если
и 
– два непересекающихся конечных множества, то число элементов, содержащихся в объединении этих множеств, равно сумме чисел элементов в каждом из них.Если обозначить число элементов конечного множества
через 
, то правило суммы запишется следующим образом: 
, если и не имеют общих элементов.Обычно правило суммы формулируют следующим образом: если элемент
может быть выбран способами, а элемент 
– способами, то один из этих элементов можно выбрать 
способами.Обобщение правила суммы на любое число
множеств не менее очевидно: если 
– попарно непересекающиеся конечные множества, то 
.Задачи, которые можно решить применением одного лишь правила суммы, тривиальны. Для решения более сложных задач используется также и правило произведения.
Правило произведения может быть сформулировано следующим образом: если элемент
может быть выбран 
способами, при каждом выборе элемент 
может быть выбран 
способами, при каждом выборе пары элемент 
может быть выбран 
способами и т.д., и после каждого выбора 
элемент 
можно выбрать 
способами, то последовательность (
) из этих элементов в указанном порядке можно выбрать 
способами.Более корректно правило произведения можно сформулировать в виде теоремы.
Теорема. Пусть имеется
, 
, групп элементов, причем 
–я группа содержит 
элементов, 
. Выберем из каждой группы по одному элементу. Тогда общее число 
способов, которыми можно произвести такой выбор, равняется
.Доказательство. Теорема доказывается методом индукции.
Пусть
. Обозначим через 
различные значения элемента , а через 
– различные значения элемента . Если выбрано значение 
элемента , то можно составить 
различные пары, содержащие этот элемент. Это справедливо и для любого другого значения элемента . Таким образом, всего можно составить 
различные пары, т.е. для правило выполняется.Предположим, что оно выполняется для групп из
элементов. Тогда любую группу (
) можно рассматривать как пару элементов 
. Первый элемент этой пары, по предположению индукции, может быть выбран 
способами; при любом из них элемент 
может быть выбран 
способами. Таким образом, число различных групп () будет равно 
.Схемы выбора. Основные понятия комбинаторики
Комбинаторика – раздел элементарной математики, в котором для конечных множеств рассматриваются различные соединения элементов, такие, как сочетания, размещения, перестановки, а также все виды соединений с повторениями. Задачи комбинаторики впервые рассматривались в связи с возникновением теории вероятностей, где к задачам комбинаторики приводит подсчет вероятностей на основе гипотезы равновозможных элементарных событий.
Рассмотрим совокупность
различных пронумерованных элементов 
.Мы выбираем из этой совокупности
элементов. Произвольная упорядоченная выборка из этих элементов 
(
) называется соединением. Эта выборка может быть как без повторений, так и с повторениями.Нас интересует, сколькими способами можно сформировать из этой совокупности
выборок, содержащих элементов, или сколько различных результатов (то есть соединений 
) получится.На этот вопрос нельзя дать однозначный ответ, пока мы не определимся с тем, как организован выбор (скажем, можно ли вошедшие в одну из выборок элементы использовать в других соединениях), и, что понимается под различными соединениями.
Для наглядности, совокупность
обычно рассматривают как урну с пронумерованными шариками, из которой извлекается шариков, образующих выборку.Рассмотрим следующие возможные схемы выбора:
- Выбор с возвращением: каждый выбранный шарик возвращается в урну, то есть каждый из шариков выбирается из полной урны. В полученном наборе, состоящем из номеров шариков, могут встречаться одни и те же номера (выборка с повторениями).
- Выбор без возвращения: выбранные шарики в урну не возвращаются, и в полученном наборе не могут встречаться одни и те же номера (выборка без повторений).
И в том, и в другом случае результатом выбора является набор из
номеров шариков. Удобно считать, что шарики всегда выбираются последовательно, по одному (с возвращением или без). Условимся, какие результаты мы будем считать различными. Есть ровно две возможности:- Выбор с учетом порядка: два набора номеров шариков считаются различными, если они отличаются составом или порядком номеров. Так, при выборе трех шариков из урны, содержащей 5 шариков, наборы (1,5,2), (2,5,1) и (4,4,5) различны, если производится выбор с учетом порядка.
- Выбор без учета порядка: два набора номеров шариков считаются различными, если они отличаются составом. Наборы, отличающиеся лишь порядком следования номеров, считаются одинаковыми. Так, в примере выше первые два набора (1,5,2) и (2,5,1) есть один и тот же результат выбора, а набор (4,4,5) — другой результат выбора.
Подсчитаем теперь, сколько же возможно различных результатов при каждой из четырех схем (выбор с возвращением и без, и в каждом из этих случаев учитываем ли мы порядок или нет).
Выбор без возвращения, с учетом порядка
Размещениями
из элементов по (
) называют их соединения, каждое из которых содержит ровно различных элементов (выбранных из данных элементов), и которые отличаются либо сами элементами, либо порядком элементов.Теорема. Общее количество выборок в схеме выбора
элементов из без возвращения и с учетом порядка называется числом размещений из элементов по и определяется формулой 
.Чтобы определить число размещений
из элементов 
по , будем строить произвольное соединение последовательно. Сначала определим его первый элемент 
. Очевидно, что из данной совокупности элементов его можно выбрать различными способами. После выбора первого элемента 
, для второго элемента 
остается 
способов выбора и т.д. Так как каждый такой выбор дает новое размещение, то все эти выборы можно свободно комбинировать между собой. Для элементов формула приобретает вид:
Соединения из
элементов, каждое из которых содержит все элементов, и которые отличаются лишь порядком элементов, называются перестановками 
.Перестановки являются частным случаем размещений. Так как каждая перестановка содержит все
элементов множества, то различные перестановки отличаются друг от друга только порядком элементов.Общее количество выборок в схеме выбора
элементов из без возвращения и с учетом порядка называется числом перестановок 
и определяется по формуле
Выбор без возвращения, без учета порядка
Сочетаниями
из элементов по 
(
) называют такие их соединения, каждое из которых содержит ровно данных элементов, и которые отличаются хотя бы одним элементом.Теорема. Общее количество выборок в схеме выбора
элементов из без возвращения и без учета порядка называется числом сочетаний из элементов по и определяется формулой:
.Рассмотрим все допустимые сочетания элементов
.Делая в каждом из них
возможных перестановок их элементов, очевидно, получим все размещения из элементов по :
.Числа
еще называются биномиальными коэффициентами, т.к. они являются коэффициентами в формуле бинома Ньютона:
.Свойства числа сочетаний
:
Свойства 1 и 2 очевидно следуют из определения
, свойства 3 и 4 доказываются с помощью бинома Ньютона, полагая для свойства 3 что 
и 
, а для свойства 4 что и 
. Свойство 5 можно проверить следующим образом:
Это свойство позволяет последовательно вычислять биномиальные коэффициенты
с помощью так называемого треугольника Паскаля:  |  |
Здесь каждое число, кроме крайних единиц, является суммой двух вышерасположенных.
Выбор с возвращением и с учетом порядка
Теорема. Общее количество выборок в схеме выбора
элементов из с возвращением и с учетом порядка определяется формулой 
.Действительно, первый элемент
из совокупности элементов можно выбрать различными способами. После выбора первого элемента , второй элемент можно выбрать также способами, и так раз.Выбор с возвращением и без учета порядка
Теорема. Общее количество выборок в схеме выбора
элементов из с возвращением и без учета порядка определяется формулой
Рассмотрим подробно, чем отличаются друг от друга два разных результата такой схемы выбора.
Нам не важен порядок номеров, то есть мы учитываем только, сколько раз в нашем наборе из
элементов появился элемент , элемент , ..., элемент 
. То есть результат выбора можно представить набором чисел 
в котором 
– число появлений элемента 
в выборке, и 
. Числа принимают значения 0, 1, 2, 3, … . Два результата эксперимента различны, если соответствующие им наборы 
не совпадают (при этом учитывается и порядок элементов).Урновая схема
Классическая схема, несмотря на свою ограниченность, пригодна для решения ряда сугубо практических задач, общую схему которых можно охарактеризовать следующим образом: рассмотрим множество
элементов, состоящее из двух непересекающихся подмножеств из 
и 
элементов. Например, множество шаров, из которых – белые, а – черные. Эти шары находятся в урне, из которой извлекается шаров. Требуется найти вероятность того, что сред этих шаров окажется белых, причем отношение 
будет близко к 
, т.е. достоверно ли представление о генеральной совокупности, полученное по выборке. В самом деле, в описанной ситуации каждая выборка не имеет предпочтения по отношению к любой другой, т.е. все они равновозможны.Обозначим через
событие «в выборке объема имеется белых шаров». Число всех возможных выборок объема из множества элементов равно числу сочетаний 
. Выясним число элементарных исходов благоприятствующих событию : из белых шаров можно выбрать штук 
способами, а из черных шаров можно выбрать 
штук 
способами. Таким образом, число элементарных исходов благоприятствующих событию равно 
. Следовательно, вероятность того, что сред этих шаров окажется белых, причем отношение будет близко к , равна:
.