Geum.ru

А. С. Гринберг О. Б. Плющ Б. В. Новыш Теория вероятностей и математическая статистика Курс лекций

Вид материалаКурс лекций

Содержание


Схема независимых испытаний Бернулли
Наивероятнейшее число наступления событий в схеме Бернулли
Предельные теоремы для схемы Бернулли
Локальная теорема Муавра–Лапласа
Интегральная теорема Муавра – Лапласа
Подобный материал:
1   ...   7   8   9   10   11   12   13   14   ...   26

Схема независимых испытаний Бернулли


Серия повторных независимых испытаний, в каждом из которых данное событие имеет одну и ту же вероятность , не зависящую от номера испытания, называется схемой Бернулли. Таким образом, в схеме Бернулли для каждого испытания имеются только два исхода: событие (успех), вероятность которого и событие (неудача), вероятность которого .

Рассмотрим задачу: в условиях схемы Бернулли необходимо определить вероятность того, что при проведении независимых испытаний, в испытаниях наступит событие , если вероятность его наступления в каждом испытании равна .

Определим вначале вероятность того, что в первых испытаниях событие наступит, а в остальных испытаниях не наступит. Вероятность такого события можно получить по формуле вероятности произведения независимых событий , где .

Это лишь одна из возможных комбинаций, когда событие произошло только в первых испытаниях. Для определения искомой вероятности нужно перебрать все возможные комбинации. Их число равно числу сочетаний из элементов по , т.е. .

Таким образом, вероятность того, что событие наступит в любых испытаниях, определяется по формуле Бернулли:

.

Наивероятнейшее число наступления событий в схеме Бернулли


Число наступлений события называется наивероятнейшим, если оно имеет наибольшую вероятность по сравнению с вероятностями наступления любое другое количество раз.

Теорема. Наивероятнейшее число наступлений события в независимых испытаниях заключено между числами и .

Доказательство. По формуле Бернулли при :

.

Следовательно, вероятность будет больше, меньше или равна вероятности в зависимости от того, какое из трех соотношений будет выполняться:

,
,
.

Если переписать эти соотношения в более простом виде:

,
,
,

То приходим к выводу, что:

, если ;

, если ;

, если .

Следовательно, вероятность при возрастает, а при – убывает. В случае, когда не является целым числом, для наивероятнейшего числа наступлений события (обозначим его ) должно выполняться неравенство , что возможно при , т.е. при . В то же время, должно выполняться неравенство , что возможно при , т.е. при . Таким образом, .

Заметим, что разность между и равна единице, значит, в большинстве случаев число единственно. Если – целое число, то наивероятнейших чисел два: и . В этом случае, поскольку , то, а .

Предельные теоремы для схемы Бернулли


В случае, когда число испытаний велико, формулу Бернулли применять неудобно. Для больших существуют приближенные формулы. Точность этих формул увеличивается с возрастанием .

Локальная теорема Муавра–Лапласа


Лаплас получил важную приближенную формулу для вероятности появления события точно раз, при условии, что достаточно велико.

Теорема. Пусть – вероятность события , причем . Тогда вероятность того, что в условиях схемы Бернулли событие при испытаниях появится точно раз, выражается приближенной формулой Лапласа:



где ; .

Доказательство. В статистическом смысле представляет собой среднее значение появлений события при испытаниях; таким образом, есть отклонение числа появлений события от его среднего значения. Что касается среднеквадратичного отклонения , то его теоретико-вероятностный смысл будет выяснен позднее. Рассматривая как некий масштаб для отклонений при испытаниях, число можно наглядно представить себе как отклонение числа появлений события от его среднего значения, измеренного в этом масштабе. Очевидно, что число ограничено.



Аналогично из определения несложно показать, что:



Исходя из полученных выражений, можно сделать вывод, что если и , то и .

;

.

Поскольку , и , то можно воспользоваться формулой Стирлинга для вычисления приближенного значения факториалов этих величин:

.



.

При достаточно большом :





Далее можно применить разложение в ряд функции :

.

Тогда:





;

;

.

Что и требовалось доказать.

Если ввести функцию:

,

то формула Лапласа приобретает вид:

.

Так как функция монотонно убывает при , то для одной и той же серии испытаний ( – фиксировано), чем больше значение отклонения , тем меньше его вероятность. Это утверждение справедливо только для больших , поскольку формула Лапласа была получена только при этом предположении.

Формулу Лапласа иногда называют асимптотической формулой, поскольку доказано, что относительная ошибка формулы Лапласа стремится к нулю при . Вообще, асимптотическим приближением функции называют функцию , если .

Заметим, что для частного случая, а именно для асимптотическая формула была найдена в 1730 году Муавром; в 1783 году Лаплас обобщил формулу Муавра для произвольного , отличного от 0 и 1. Поэтому эту теорему называют теоремой Муавра-Лапласа.

Интегральная теорема Муавра – Лапласа


Предположим, что в условиях схемы Бернулли проводится испытаний, в результате каждого из которых с вероятностью () происходит событие . Интегральная теорема Муавра-Лапласа содержит приближенную формулу для вероятности того, что событие появится не менее раз и не более раз. С ростом количества испытаний числа и растут, а вероятность постоянна.

Теорема. Если вероятность события в каждом испытании постоянна и отлична как от нуля, так и от единицы, то вероятность того, что событие появится в испытаниях от до раз, приближенно равна определенному интегралу:

,

где , .

Доказательство. На основании теоремы сложения вероятности для несовместных событий:

.

Отсюда, используя локальную теорему Лапласа:

,

где (); .

Поскольку ,

следовательно .

Причем, эта сумма является интегральной для функции на отрезке , так как при , т.е. при , ее предел равен соответствующему определенному интегралу:

,

где , а ,

что и требовалось доказать.

Введем стандартный интеграл Лапласа (функцию Лапласа):

,

который, очевидно, является первообразной функции Гаусса:

.

Тогда на основании формулы Ньютона – Лейбница можно записать

.

Значения функций и обычно находятся из таблиц, причем таблицы обычно даны лишь для неотрицательных значений , поскольку – четная функция, а – нечетная. Из таблиц видно, что при значения практически не отличаются от 0.5, поэтому далее табуляция, как правило, не ведется.

Пример. Небольшой город ежедневно посещают 100 туристов, которые днем идут обедать. Каждый из них выбирает для обеда один из двух городских ресторанов с равными вероятностями и независимо друг от друга. Владелец одного из ресторанов желает, чтобы с вероятностью приблизительно 0,99 все пришедшие в его ресторан туристы могли там одновременно пообедать. Сколько мест должно для этого быть в его ресторане?

Решение. Будем считать, что событие произошло, если турист пообедал у заинтересованного владельца. По условию задачи , . Нас интересует такое наименьшее число посетителей , что вероятность одновременного прихода не менее чем туристов из числа с вероятностью успеха приблизительно равна вероятности переполнения ресторана, т.е. .

Таким образом, нас интересует такое наименьшее число , что . Применим интегральную теорему Муавра-Лапласа.

В нашем случае: – неизвестно, , , . Тогда:





Используя таблицы для функции , находим, , и, значит, . Следовательно, в ресторане должно быть 62 места.

Точность формул Муавра–Лапласа сильно зависит от соотношения величин и : она существенно увеличивается с ростом произведения . Обычно этими формулами пользуются, когда . Однако, в случае близости одной из величин или к нулю (другая в это время мало отличается от единицы) возникает необходимость в значительном увеличении числа испытаний .