А. С. Гринберг О. Б. Плющ Б. В. Новыш Теория вероятностей и математическая статистика Курс лекций

Вид материала

Курс лекций

Содержание Общее определение вероятности Классическое определение вероятности события. Случаи равновероятных исходов Статистическое определение вероятности события. Случаи неравновероятных исходов Геометрические вероятности Аксиоматическое построение теории вероятностей

Подобный материал:

• Рабочая программа дисциплины "теория вероятностей и математическая статистика", 112.61kb.
• Конспект лекций по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика", 1417.24kb.
• Рабочая учебная программа дисциплины (модуля) Теория вероятностей и математическая, 217.23kb.
• Примерная программа наименование дисциплины «теория вероятностей и математическая статистика», 165.37kb.
• Рабочая программа учебной дисциплины теория вероятностей и математическая статистика, 830.1kb.
• Рабочая программа учебной дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика», 165.42kb.
• Программа курса лекций "Теория вероятностей и математическая статистика", 18.69kb.
• Примерная рабочая программа по дисциплине: «теория вероятностей, математическая статистика, 83.07kb.
• Программа по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов, 206.05kb.
• Программа дисциплины «теория вероятностей и математическая статистика» Для направления, 198.58kb.

Общее определение вероятности

Вероятность является количественной мерой возможности появления рассматриваемого события. Вероятность можно определить как функцию, заданную на подмножествах пространства .

Наиболее широкое распространение получили два определения вероятности события: классическое и статистическое.

Классическое определение вероятности события. Случаи равновероятных исходов

Классическое определение вероятности связано с определением благоприятствующего исхода. Исход называется благоприятствующим данному событию, если его появление влечет за собой наступление этого события. Вероятность события равна отношению числа равновозможных благоприятствующих элементарных исходов к общему числу всех равновозможных и единственно возможных элементарных исходов данного испытания:

,

где – число благоприятствующих событию исходов;

– общее число возможных исходов.

Из определения вероятности события следует, что , поэтому всегда выполняются неравенства , т.е. вероятность любого события есть неотрицательное число, не превышающее единицы.

Если , то событие невозможное.

Если , то событие достоверное.

Равновозможные элементарные события являются равновероятными, т.е. обладают одной и той же вероятностью.

Теорема. Эквивалентные события имеют одинаковые вероятности, т.е. если , то .

Доказательство. Действительно, каждый элементарный исход события является таким же элементарным исходом для события и наоборот. В силу формулы справедливо равенство .

Если событие происходит всякий раз после того, как произошло событие , то говорят, что из события следует событие (). Например, для любых двух событий и справедливо и .

Теорема. Если , то .

Доказательство. Пусть события и включены в общую систему равновероятных элементарных исходов, причем и
– число благоприятных элементарных исходов соответственно для событий и , а – общее число элементарных исходов. Так как каждый элементарный исход для события является также элементарным исходом для события , то и, следовательно, .

(дополнение множества A до ) – противоположное событие. Это событие, состоящее в том, что A не происходит (логическое отрицание). Следовательно:

• – достоверное событие;
  
• – невозможное событие.
  

Теорема. Вероятность события , противоположного событию равна дополнению вероятности данного события до 1, т.е. .

Доказательство. Пусть полная система равновозможных элементарных исходов содержит событий, из которых (), благоприятны событию . Тогда исходов неблагоприятны событию , т.е. благоприятствуют событию . Таким образом:

.

Классическое определение вероятности предполагает, что:

• _{число элементарных исходов конечно;}
  
• _{эти исходы равновозможны.}
  

Однако, на практике встречаются испытания с бесконечным числом возможных исходов. Кроме того, нет общих методов, позволяющих результат испытания, даже с конечным числом исходов, представить в виде суммы равновозможных элементарных исходов. Поэтому применение классического определения вероятности весьма ограничено.

Статистическое определение вероятности события. Случаи неравновероятных исходов

Классическое определение вероятности не является пригодным для изучения произвольных случайных событий. Так, оно неприемлемо, если результаты испытания не равновозможны.

Во многих случаях более удобным оказывается статистическое определение вероятности, которое связано с понятием относительной частоты появления события в опытах. Относительная частота (частость) появления события – это отношение числа появлений события в серии из опытов к числу испытаний.

Относительная частота вычисляется по формуле:

.

Результаты многочисленных опытов и наблюдений помогают заключить: при проведении серий из испытаний, когда число сравнительно мало, относительная частота принимает значения, которые могут сильно отличаться друг от друга. При однотипных массовых испытаниях во многих случаях наблюдается устойчивость относительной частоты события, т.е. с увеличением числа испытаний в сериях относительная частота колеблется около некоторого постоянного числа , причем эти отклонения тем меньше, чем дольше произведено испытаний, если не учитывать отдельные неудачные испытания (выбросы).

Вероятностью события в статистическом смысле называется число , относительно которого стабилизируется (устанавливается) относительная частота при неограниченном увеличении числа опытов.

Под вероятностью события в статистическом смысле понимается почти достоверный предел его относительной частоты при неограниченно растущем числе испытаний. Таким образом, почти достоверно, что относительная частота события приближенно совпадает с его статистической вероятностью, если число испытаний достаточно велико. Поэтому, в практических задачах за вероятность события принимается относительная частота при достаточно большом числе испытаний.

Легко убедиться, что свойства вероятности, вытекающие из классического определения вероятности, сохраняются и при статистическом определении вероятности.

Если вероятность некоторого события близка к нулю, то, в соответствии со сказанным следует, что при единичном испытании в подавляющем большинстве случаев такое событие не наступит. Естественно, наступает вопрос: насколько малой должна быть вероятность, чтобы можно было считать невозможным наступление некоторого события в единичном испытании? Ответ на него не однозначен и зависит от тех потерь, которые будут иметь место, если это событие все-таки произойдет. Достаточно малую вероятность, при которой наступление события можно считать практически невозможным, называют уровнем значимости. На практике уровень значимости обычно принимают равным 0,05 (пятипроцентный уровень) или 0,01 (однопроцентный уровень).

При широких предположениях доказывается, что вероятности события в классическом и статистическом смыслах совпадают.

Геометрические вероятности

Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности – вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.).

Приведем формальное определение вероятностей для испытаний с бесконечным числом исходов. В подобных случаях пространство элементарных исходов может быть областью , а под событием можно понимать исходы, входящие в область .

Пусть на область наугад бросается «точка». Какова вероятность того, что эта точка попадет в область , являющуюся частью области ?

1. Пусть отрезок , длину которого обозначим как , составляет часть отрезка длина которого . На отрезок наудачу поставлена точка. Это означает выполнение следующих предположений:

• поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка ;
  
• вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка .
  

В этих предположениях вероятность попадания точки на отрезок определяется равенством .

2. Пусть плоская фигура с площадью составляет часть плоской фигуры , площадь которой . На фигуру наудачу брошена точка. Это означает выполнение следующих предположений:

• брошенная точка может оказаться в любой точке фигуры ;
  
• вероятность попадания брошенной точки на фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно фигуры , ни от формы .
  

В этих предположениях вероятность попадания точки на фигуру определяется равенством .

3. Аналогично вводится понятие геометрической вероятности при бросании точки в пространственную область объема , содержащую область объема :.

В общем случае понятие геометрической вероятности вводится следующим образом.

Пусть – некоторое множество (базис), а – -алгебра его подмножеств. Функция называется мерой, на , если она удовлетворяет условиям:

• Для любого множества его мера неотрицательна: ;
  
• Для любого счетного набора попарно непересекающихся множеств мера их суммы равна сумме их мер: – свойство счетной аддитивности.
  

Обозначим меру области (длину, площадь, объем) через , а меру области – через ; обозначим через событие «попадание брошенной точки в область , которая содержится в области _». Вероятность события , т.е. вероятность попадания в область точки, брошенной в область , определяется формулой:

.

Аксиоматическое построение теории вероятностей

Наиболее распространенной в настоящее время является логическая схема построения основ теории вероятностей, которая была разработана А.Н.Колмогоровым в 1933 году.

Основные черты этой схемы следующие.

При изучении какой-либо задачи методами теории вероятностей, прежде всего, выделяется множество , называемое пространством элементарных исходов. Элементы этого множества составляют совокупность возможных исходов наблюдения – элементарных событий. Всякое случайное событие описывается совокупностью благоприятствующих ему элементарных исходов и, поэтому, рассматривается как множество элементарных событий. Некоторые из этих случайных событий образуют борелево множество наблюдаемых событий , каждому из которых сопоставлено некоторое определенное число , т.е. на задана функция множеств.

Поскольку каждое наблюдение должно иметь, по крайней мере, хотя бы один исход, все пространство элементарных событий соответствует достоверному событию, а пустое множество – невозможному событию. С событиями из –алгебры связываются определенные числа , называемые их вероятностями и удовлетворяющие следующему определению.

Вероятностью называется функция множеств, заданная на –алгебре пространства элементарных исходов и удовлетворяющая следующим условиям:

1. ;
   
2. , т.е. вероятность достоверного события равна единице;
   
3. Вероятность события , заключающееся в том, что наступит одно из попарно несовместных событий (), составляет
   

.

Эти условия должны выполняться и для бесконечных последовательностей попарно несовместных событий, т.е. должны выполняться также и условия в определении –алгебры . Таким образом, из условия 3 следует:

.

Эти условия составляют аксиомы теории вероятностей.

Вся теория вероятностей строится на этих трех аксиомах. Исходные аксиомы постулируются и попытка доказать их лишена смысла. Единственным возможным критерием справедливости этих аксиом является степень, с которой теория, построенная на их основе, отражает реальность. Этот критерий, кстати, справедлив и для любой другой естественнонаучной теории.

Итак, определенная теоретико–вероятностная схема задается тремя компонентами , т.е.:

• конкретным пространством элементарных исходов , выступающим в роли базиса, в котором описываются все наблюдаемые события;
  
• конкретным набором подмножеств пространства элементарных исходов , образующим –алгебру и являющимся областью определения функции вероятности ;
  
• конкретным заданием вероятностей на всех множествах –алгебры .
  

Набор этих трех компонент , удовлетворяющий аксиомам теории вероятностей, называется вероятностным пространством или вероятностной схемой.