А. С. Гринберг О. Б. Плющ Б. В. Новыш Теория вероятностей и математическая статистика Курс лекций
| Вид материала | Курс лекций |
- Рабочая программа дисциплины "теория вероятностей и математическая статистика", 112.61kb.
- Конспект лекций по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика", 1417.24kb.
- Рабочая учебная программа дисциплины (модуля) Теория вероятностей и математическая, 217.23kb.
- Примерная программа наименование дисциплины «теория вероятностей и математическая статистика», 165.37kb.
- Рабочая программа учебной дисциплины теория вероятностей и математическая статистика, 830.1kb.
- Рабочая программа учебной дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика», 165.42kb.
- Программа курса лекций "Теория вероятностей и математическая статистика", 18.69kb.
- Примерная рабочая программа по дисциплине: «теория вероятностей, математическая статистика, 83.07kb.
- Программа по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов, 206.05kb.
- Программа дисциплины «теория вероятностей и математическая статистика» Для направления, 198.58kb.
ТЕМА 1. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Лекция 1. Пространство случайных событий
Основные понятия:
случайный эксперимент; детерминированный эксперимент; случайное событие; элементарный исход; пространство элементарных событий; благоприятствующий исход; совместные события; несовместные события; достоверное событие; невозможное событие; равновозможные события; алгебра событий; сумма событий; произведение событий; разность событий; симметрическая разность событий; противоположное событие; наблюдаемое событие; -алгебра; вероятность; равновероятные события; относительная частота; уровень значимости; функция множеств.
Основные понятия теории вероятностей
Возникновение теории вероятности, как науки, обычно относят к XVII веку. Интерес к задачам, связанным с вероятностями, формировался под влиянием развития страхового дела. В то же время, значительную роль в формировании основных понятий, связанных с вероятностным подходом сыграли работы известных математиков, посвященные анализу комбинаторных задач азартных игр, которые не укладывались в рамки существовавших тогда математических моделей. Анализ этих задач стимулировал введение новых понятий, подходов и идей, и неудивительно, что с тех пор задачи о бросании игральной кости, об извлечении шаров из урны, карт из колоды и т.д. стали традиционными для теории вероятностей и по сей день сохраняют свою роль, как тренировочные упражнения, а в некоторых случаях выступают в роли наглядных моделей для более серьезных вероятностных схем.
В отличие от детерминированных математических схем, имеющих жесткую причинно–следственную зависимость, которая выражается в том, что определенная причина ведет к единственному и вполне определенному следствию. В основе вероятностных схем лежит понятие случайности, которое выступает противоположностью детерминированности или обусловленности. И именно тем фактом, что основным объектом исследования теории вероятности является случайность или неопределенность, обусловлено интенсивное развитие вероятностных подходов к изучению процессов и явлений. В действительности, детерминированных законов в природе практически не существует. Как правило, все процессы сопровождаются неизвестными, неопределенными воздействиями, которые, возможно, случайными по сути и не являются, но порождающие их причины неизвестны. Для математического описания таких явлений удобно считать, что неопределенные факторы имеют случайную природу. В этом смысле случайность можно рассматривать, как проявление недостаточности знаний о природе изучаемых процессов и явлений. С другой стороны, случайность, безусловно, существует в реальности и является неотъемлемым атрибутом действительности. Это означает, что практически отсутствует возможность получить полную информацию о явлении не только из-за неумения, неспособности или несовершенства исследовательского оборудования, а как результат объективно существующих свойств самого объекта исследования. Так, например, невозможно получить полную информацию обо всех процессах, происходящих в обществе. Общественное развитие – результат совместного действия многих случайных факторов. Описать поведение отдельного человека, формирование его психологического состояния, можно также только опираясь на случайный характер этих явлений.
Не все случайные явления (эксперименты) можно изучать методами теории вероятностей, а лишь те, которые могут быть воспроизведены в одних и тех же условиях и обладают (непонятно как проверяемым заранее) свойством статистической устойчивости: если
– некоторое событие, могущее произойти или не произойти в результате эксперимента, то доля 
числа экспериментов, в которых данное событие произошло, имеет тенденцию стабилизироваться с ростом общего числа экспериментов 
, приближаясь к некоторому числу 
. Это число служит объективной характеристикой «степени возможности» событию произойти. В дальнейшем будут рассматриваться лишь случайные эксперименты, обладающие данным свойством статистической устойчивости.Случайные события
Осуществление намеченного действия и получение его результата называется экспериментом (опытом). Предметом теории вероятностей являются модели экспериментов со случайными исходами (случайных экспериментов). При этом рассматриваются только такие эксперименты, которые можно повторять (воспроизводить) при неизменном комплексе условий произвольное число раз (по крайней мере, теоретически).
Для реально воспроизводимого эксперимента понятие «наблюдаемый результат» означает, что существует принципиальная возможность зарегистрировать данный результат опыта с помощью того или иного прибора (в простейшем случае, например, визуально). Любой наблюдаемый результат интерпретируется, как случайный исход опыта (случайное событие).
Случайное событие – это событие, которое может произойти, а может и не произойти. Наступление случайного события, независимо от его природы, характеризуется вероятностью или плотностью вероятности. Вероятность случайного события характеризует частоту наступления случайного события, если указанные события повторяются большое количество раз.
Иными словами, событие является случайным в данном опыте, если заранее нельзя предсказать, произойдет оно или не произойдет в данном опыте.
Понятие случайного эксперимента
Познание действительности происходит в результате опыта: наблюдения, измерения, эксперимента. Чтобы каким-то образом оценить событие, необходимо учесть или специально организовать условия, в которых оно происходит. Выполнение определенных условий или действий для выявления рассматриваемого события носит название опыта или эксперимента. Таким образом, под опытом подразумевается наличие определенного комплекса условий. В теории вероятностей рассматриваются опыты, которые при одном и том же комплексе начальных условий в зависимости от случайных обстоятельств заканчиваются различными исходами.
Если, исходя из условий, описывающих эксперимент, его результат предсказуем, то такой эксперимент является детерминированным.
Эксперимент (наблюдение) считается случайным, если он может закончиться любым из некоторой совокупности известных результатов, но до осуществления эксперимента нельзя сказать каким именно.
В дальнейшем вместо того, чтобы говорить «комплекс начальных условий создан» будет применяться выражение «произведено испытание». Термин «испытание» является общепринятым в теории вероятностей и заменяет собой термины «наблюдение», «опыт», «измерение».
Математическая формализация модели случайного эксперимента включает в себя:
1) построение множества элементарных исходов
;2) описание множества событий для данного эксперимента;
3) задание вероятностного распределения на множестве событий.
Пространство элементарных событий
Каждый из равновозможных результатов испытаний называется элементарным исходом или (элементарным событием). Всякий мыслимый результат эксперимента называют элементарным событием и обычно обозначают буквами
Пространством элементарных событий называется множество всех взаимно исключающих исходов эксперимента такое, что результатом эксперимента всегда является один и только один исход.
Пространство элементарных событий обычно обозначается
и считается заданным, если указаны все его элементы.Из элементарных исходов можно составить более сложное событие. Результат испытания называется событием, независимо от его значимости. Результат испытания, который нельзя заранее прогнозировать, называется случайным событием.
Любое подмножество данного множества
интерпретируется как событие (возможно, и ненаблюдаемое). Совокупность всех наблюдаемых событий составляет множество событий для данного эксперимента.Множество
для данного испытания может быть дискретным, или иметь более сложную структуру. К дискретным относятся конечные или счетные множества элементарных исходов. Построение множества (если оно не задано при описании эксперимента) осуществляется на практике, исходя из требования, чтобы все интересующие нас результаты данного эксперимента могли быть однозначно описаны на основе построенного множества . Другими словами, если нас интересуют события 
и т.д., являющиеся наблюдаемыми событиями в данном эксперименте, то множество должно состоять из таких исходов, чтобы существовали подмножества данного множества, равносильные событиям и т.д.Наступление события, благоприятствующие исходы
Каждое случайное событие
определяется как подмножество в множестве элементарных событий . При этом те элементарные события из , при которых событие наступает (т.е. принадлежит подмножеству ) называют благоприятствующими событию . Говорят, что событие произошло (наступило, осуществилось, реализовалось), если результатом эксперимента явился элементарный исход 
, принадлежащий (
).Совместные (совместимые), несовместные (несовместимые) события
Два события называются совместными (совместимыми) в данном опыте, если появление одного из них не исключает появления другого.
Два события называются несовместными (несовместимыми) в данном опыте, если они не могут произойти вместе при одном и том же испытании. Несколько событий называются несовместными, если они попарно несовместны.
Другими словами, события
и 
совместны, если соответствующие множества и имеют общие элементы, и несовместны в противном случае, если появление одного из них исключает появление другого, и соответствующие множества и не имеют общих элементов, т.е. пересечение этих множеств является пустым множеством.Достоверное и невозможное события
Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий
.Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий
.Событие, совпадающее с пустым множеством
, называется невозможным событием, а событие, совпадающее со всем множеством , называется достоверным событием.События называют равновозможными, если нет основания полагать, что одно событие является более возможным, чем другие.
Теория вероятностей есть наука, изучающая закономерности случайных событий. Одной из главных задач в теории вероятностей является задача определения количественной меры возможности появления события.