Обобщения полиномов Бернштейна в задачах устойчивости нелинейных динамических систем
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
µрнштейна для решения нелинейных уравнений
Существуют различные способы построения итерационных формул для решения скалярных уравнений [1, 54 с.]. Применение итерационными методов интерполяционного типа может быть затруднено способом измерения или вычисления данных.
В данной работе предлагается способ построения итерационной формулы основанный на аппроксимации с помощью полинома Бернштейна [2]. Считается, что функция f(x) определена на отрезке [0,1] и её значения заданы в ряде равноотстоящих точек xi = i/n, i = 0, 1, 2, …, n.
Полином Бернштейна имеет вид
n(x) = f (k/n) Cnk xk(1-x)n-k
Замена в исходном уравнении функции, её аппроксимацией, позволяет упростить задачу.
Уточнение значения корня осуществляется за счет увеличения количества узлов или степени полинома.
На основе вычислительного эксперимента выявлено влияние точности задания значений функции, количества узлов степени полинома на качество решения.
Проведен сравнительный анализ свойств предложенных итерационных формул, построенной на основе аппроксимационного полинома Бернштейна, с известной итерационной формулой.
Теоретическая оценка погрешности для трех равноотстоящих узлов:
n+1 ~C(en2-h2)
Рассмотрим тестовую задачу: решим с помощью итерационно формулы на основе аппроксимационных полиномов Бернштейна уравнение .
Построим функцию и ее приближение полиномом на одном графике:
Рисунок 3 - Графики функций и
Точное решение уравнения находим с помощью оператора solve среды Maple 11. Т.о. точное решение уравнения выглядит так: .
Запишем базисные многочлены Бернштейна второй степени:
,
,
.
,
,
, .
,
Погрешность вычислений равна 0,02.
Теперь к исходному уравнению добавим случайную величину (погрешность) ?, например шум: .
Рисунок 4 - График функции g(x) при ?=0,1
Рисунок 5 - График функции g(x) при ?=0,2
Рисунок 6 - График функции g(x) при ?=0,5
С помощью Maple были проведены вычисления для всех трех случаев.
Получены следующие результаты (таблица 1, таблица 2, таблица 3):
Таблица 1 - Приближения к корню уравнения при ?=10%
Номер итерацииПриближения10.6639680620.6644242930.6642695140.66435759
Таблица 2 - Приближения к корню уравнения при ?=20%
Номер итерацииПриближения10.5613358-0.025925I20.561576-0.0269788I30.561194-0.0257785I40.560631-0.0244705I
Можно сделать вывод, что добавление погрешности не влияет на качество решения.
Это выгодно отличает итерационную формулу, построенную на основе апроксимационного полинома Бернштейна от ряда классических итерационных методов: метод Ньютона, метод секущих и т.д.
Таблица 3 - Приближения к корню уравнения при ?=30%
Номер итерацииПриближения10.653920.692330.681240.6622
Также на качество решения не влияет количество узлов полинома.
1.7Обобщенные полиномы Бернштейна в задаче оценки параметров системы
Если область, в которой находится корень системы является многогранником, обобщенные функции Бернштейна вводятся так:
;
Формулы для выпуклых комбинаций вершин выпуклого n-угольника:
Существует два способа для вычисления ?i.
Первый способ: 1) Разбиение области n - угольника с вершинами Ai(xi, yi), i= на треугольники. 2) В имеющейся n-угольной тонкой пластине выделим точку, являющуюся геометрическим центром фигуры, и найдем ее координаты по формуле:
Соединив вершины исходной фигуры с ее геометрическим центром, получим n треугольников.
Для каждого из которых, коэффициенты выпуклой комбинации определены однозначно.
Второй способ основан на решении оптимизационной задачи:
при ограничениях:
.
В данной работе было рассмотрено решение систем нелинейных уравнений с применением формул для обобщенных полиномов Бернштейна, что помогло избежать локализации корней.
1.8 Алгоритм оценки параметров системы (корней нелинейной системы уравнений) с помощью обобщенных полиномов Бернштейна
. Строим область: выпуклый многогранник, в которой предположительно находится корень данной системы нелинейных уравнений.
. Записываем формулы для выпуклой комбинации вершин данного многогранника и условие нормировки: . Затем выражаем все вершины многогранника через коэффициенты ?1, ?2, …, ?n.
. В исходную систему нелинейных уравнений подставляем выражения для вершин, т. о. получаем преобразование систем:
4. Полученную (преобразованную) систему нелинейных уравнений решаем любым итерационным методом.
В данной работе рассмотрен итерационный метод Ньютона. При решении заранее необходимо задать точность решения ? (?=0.001).
5. После того как получено приближенное решение нелинейной системы уравнений, ?1, ?2, …, ?n. необходимо подставить в выражения для вершин многогранника и т. о. найти приближенной решение исходной нелинейной системы уравнений.
Для компьютерной реализации итерационного метода Ньютона, на Maple 11 была построена процедура, высчитывающая корни системы нелинейных уравнений с заданной точностью и затраченное на вычисление решения количество итераций (Приложение Б).
Для проверки вышеприведенного алгоритма оценки параметров системы с помощью обобщенных полиномов Бернштейна, рассмотрены числовые примеры, первый из которых, является достаточно простым и имеет точное решение.
Второй пример