Обобщения полиномов Бернштейна в задачах устойчивости нелинейных динамических систем
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
ейном в 1912 году и использованы им в конструктивном доказательстве аппроксимационной теоремы Вейерштрасса.
С развитием компьютерной графики, полиномы Бернштейна, заключённые в промежуток x [0, 1], стали играть важную роль при построении кривых Безье.
При натуральном n алгебраический полином
(1.39)
называется полиномом в форме Бернштейна или просто полиномом Бернштейна [1]. Очевидно, что
, . (1.40)
Базисными полиномами Бернштейна от одной переменной называются полиномы:
, , n = 0, 1, …
Базисные полиномы обладают следующими свойствами:
при x (0, 1) и всех k = 0, 1,…, n; (1.41)
(1.42)
Лемма 1. При всех вещественных x справедливо равенство:
(1.43)
Доказательство. Равенство (1.37) достаточно проверить при x є (0, 1). Имеем
.
Вместе с тем, . Значит, .
Теперь продифференцируем тождество (1.43). Получим
.
Отсюда и из (1.42) следует (1.43).
Теорема 1. Справедлива формула
, (1.44)
где .
Доказательство. Имеем
=+=+
++=.
Мы воспользовались тем, что при k(1, n-1).
Преобразование (1.44) можно продолжить:
,
где и т.д. В результате получим
.
Таким образом, выведено рекуррентное соотношение
, i=1, …, n, k=0,1,…, n-i; , k = 0, 1,…, n,
которое позволяет вычислить значение в фиксированной точке x (0, 1).
Перепишем формулу (1.39) в виде
.
С учетом свойств (1.41) и (1.42) коэффициентов заключаем, что число B(x) при фиксированном x ? (0, 1) есть выпуклая комбинация чисел y0, y1,…, yn. Рекуррентное соотношение (1.44) представляет собой быстрый способ вычисления этой выпуклой комбинации.
Рассмотрим двумерный случай.
Базисные полиномы Бернштейна от двух переменных определяются следующим образом:
, , , n = 0, 1, …,
где - так называемые триномиальные коэффициенты.
В частности,
, , , ;
, ; , , ;
, ; , , .
При
Отметим также, что при
Справедливо тождество
(1.45)
Оно следует из общей формулы
(Здесь мы воспользовались тем фактом, что .)
Подставив в (1.45) , получим
1.Рассмотрим полином от двух переменных в форме Бернштейна
Введём конечные разности на треугольном массиве коэффициентов
Предложение 1. Полином допускает представление
(1.46)
Доказательство. Имеем
Применив формулу (1.46) к , получим
Поменяем порядок суммирования по и по (через ). Поскольку
и ,
то
Воспользуемся равенством
Придем к требуемому представлению
Предложение доказано.
.Зафиксируем два целых неотрицательных числа и положим .
Предложение 2. Для частной производной полинома в форме Бернштейна при справедлива формула
(1.47)
где .
Доказательство.
Продифференцируем тождество (1.46) по . Учитывая, что , получаем
Но , так что
Это соответствует формуле (1.47) при .
Далее
Продифференцируем данное тождество по . Учитывая, что , аналогично предыдущему получаем
Продолжив дифференцирование, придём к (1.47).
.Рассмотрим треугольных массивов базисных полиномов Бернштейна
Положим для удобства
Например, при получим 15 искусственно добавленных полиномов.
Предложение 3. При любых вещественных справедливы рекуррентные соотношения
(1.47)
Доказательство. Перепишем тождества (1.46), заменив в них на :
(1.48)
Зафиксируем . При обе части . Пусть . Тогда
При обе части (1.45) равны .
Аналогично проверяется случай .
Если , то, согласно (1.44), , так что
Осталось рассмотреть случай . Имеем
Мы воспользовались легко проверяемой формулой
Предложение доказано.
.Зафиксируем произвольные вещественные . Для вычисления значения введем треугольных массивов с помощью рекуррентных соотношений
(1.49)
Предложение 4. Справедливо равенство .
Доказательство. При утверждение тривиально. При оно проверяется так:
Пусть . Согласно (1.47), (1.48) и (1.49) имеем
Продолжив аналогично, получим
Предложение доказано.
.Обратимся к вопросу о вычислении производных полинома . Нам потребуется соотношение
(1.50)
которое непосредственно следует из (1.49). Действительно,
Предложение 5. При фиксированных частные производные от полинома в форме Бернштейна можно вычислить по формуле
Здесь
Доказательство. Согласно (1.45)
Воспользуемся приёмом из доказательства и соотношением (1.50).
Запишем
Продолжив данное преобразование, получим
Предложение доказано.
Таким образом, треугольных массивов , построенных по формуле (8), дают возможность вычислить как значение полинома , таки значения всех его частных производных в фиксированной точке [17].
1.5 Применение полиномов Б?/p>