Обобщения полиномов Бернштейна в задачах устойчивости нелинейных динамических систем
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
/p>
Динамические системы можно классифицировать в зависимости от вида оператора отображения и структуры фазового пространства. Если оператор предусматривает исключительно линейные преобразования начального состояния, то он называется линейным. Линейный оператор обладает свойством суперпозиции. Если оператор нелинейный, то и соответствующая динамическая система называется нелинейной.
Различают непрерывные и дискретные операторы и соответственно системы с непрерывным и дискретным временем. Системы, для которых отображение с помощью оператора может быть определено для любых (непрерывно во времени), называют также потоками по аналогии со стационарным течением жидкости. Если оператор отображения определен на дискретном множестве значений времени, то соответствующие динамические системы называют каскадами или системами с дискретным временем.
Динамические системы называются автономными, если они не подвержены действию внешних сил, переменных во времени [1].
Рассмотрим динамические системы, моделируемые конечным числом обыкновенных дифференциальных уравнений. Применительно к таким системам сохранились представления и терминология, первоначально возникшие в механике. В рассматриваемом случае для определения динамической системы необходимо указать объект, допускающий описание состояния заданием величин в некоторый момент времени t = t0. Величины xi могут принимать произвольные значения, причем двум различным наборам величин xi отвечают два разных состояния. Закон эволюции динамической системы во времени записывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений.
Если рассматривать величины как координаты точки x в n - мерном пространстве, то получается наглядное геометрическое представление состояния динамической системы в виде этой точки, которую называют изображающей, а чаще фазовой точкой, а пространство состояний - фазовым пространством динамической системы. Изменению состояния системы во времени отвечает движение фазовой точки вдоль некоторой линии, называемой фазовой траекторией.
Необходимо уточнить взаимосвязь понятий числа степеней свободы и размерности фазового пространства динамической системы. Под числом степеней свободы понимается наименьшее число независимых координат, необходимых для однозначного определения состояния системы. Под координатами первоначально понимались именно пространственные переменные, характеризующие взаимное расположение тел и объектов. В то же время для однозначного решения соответствующих уравнений движения необходимо помимо координат задать соответствующие начальные значения импульсов или скоростей. В связи с этим система с m степенями свободы характеризуется фазовым пространством в два раза большей размерности (n = 2m).
Теория динамических систем, основана на дифференциальных уравнениях вида
, , (1.1)
где - динамические переменные;
- функции (в общем случае нелинейные), описывающие их (в смысле динамических переменных) взаимодействие в данной точке пространства;
- характерные времена изменения переменных ;
член описывает распространение динамических переменных в пространстве.
В частном случае, когда все динамические переменные распределены в пространстве равномерно, мы имеем систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
, , (1.2)
Уравнения (1.1) или (1.2) являются динамическими, т.е. их решения, вообще говоря, однозначно определяются начальными и граничными условиями и, разумеется, свойствами и параметрами самих уравнений [9].
Интуитивное представление об устойчивости (или неустойчивости) есть у каждого. Неустойчиво, например, состояние карандаша, поставленного на острие; неустойчиво движение шарика по гребню. В то же время движение его по ложбине устойчиво. Более точное представление дает анализ уравнений движения (и / или стационарных состояний). Этот анализ основан на исследовании поведения малых отклонений от соответствующего решения. Продемонстрируем это на примере стационарных состояний точечной системы. Стационарными являются состояния, соответствующие таким значениям переменных , при которых все функции равны нулю. При этом значения не меняются со временем, поскольку все производные также равны нулю. Однако малые отклонения от стационарных значений меняются со временем, и их изменение можно описать системой линейных дифференциальных уравнений
, (1.3)
где .
Решения имеют вид:
(1.4)
Здесь - коэффициенты, пропорциональные начальным отклонениям ; они малы в меру малости последних. Величины - числа, которые являются решениями алгебраического уравнения:
, (1.5)
где - символ Кронекера =1, i=j; =0, i?j.
Величины называются также числами Ляпунова и играют главную роль в анализе устойчивости. Если все числа Ляпунова отрицательны, то состояние устойчиво. Действительно, в этом случае все отклонения со временем уменьшаются, т.е. система стремится обратно к стационарному состоянию, даже если ее немного отклонить от него. Если хотя бы одно из чисел Ляпунова положительно, то состояние неустойчиво. Действительно, тогда отклонения возрастают со временем, причем достаточно быстро. В общем случае числа Ляпунова могут быть комплексными. Устойчивость определяется тогда знаком реальной части. Если среди чисел Ляпунова имеются равные нулю или чисто мнимые, то стационарное состояние называется нейтральным; при отклонении от него не