Обобщения полиномов Бернштейна в задачах устойчивости нелинейных динамических систем
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
даже если уравнение (1.33) допускает возможность нахождения решения в виде конечной формулы, то результат вычислений по этой формуле почти с неизбежностью содержит вычислительную погрешность и поэтому является приближенным.
В дальнейшем мы откажемся от попыток найти точные значения корней уравнения (1.33) и сосредоточим внимание на методах решения более реалистичной задачи приближенного вычисления корней с заданной точностью . Под задачей отыскивания решений уравнения (1.33) будем понимать задачу вычисления с заданной точностью конечного числа подлежащих определению корней этого уравнения [21].
Решение задачи отыскания корней нелинейного уравнения осуществляют в два этапа. Первый этап называется этапом локализации (или отделения) корней, второй - этапом итерационного уточнения корней. Отрезок , содержащий только один корень уравнения (1.33), называют отрезком локализации корня .
Цель этапа локализации считают достигнутой, если для каждого из подлежащих определению корней удалось указать отрезок локализации (его длину стараются по возможности сделать минимальной).
Способы локализации корней многообразны, и указать универсальный метод не представляется возможным. Иногда отрезок локализации известен либо он определяется из физических соображений. В простых ситуациях хороший результат может давать графический метод. Широко применяют построение таблиц значений функций вида . При этом способе локализации о наличии на отрезке корня судят по перемене знака функции на концах отрезка.
Основанием для применения указанного способа служит следующая хорошо известная теорема математического анализа.
Теорема 1. Пусть функция непрерывна на отрезке и принимает на его концах значения разных знаков, т.е. . Тогда отрезок содержит по крайней мере один корень уравнения .
К сожалению, корень четной кратности не удается локализовать на основании перемены знака с помощью даже очень подробной таблицы. Дело в том, что в малой окрестности такого корня функция имеет постоянный знак. Важно подчеркнуть, что далеко не всегда для успешного отыскания корня уравнения (1) необходимо полное решение задачи локализации. Часто вместо отрезка локализации достаточно найти хорошее начальное приближение к корню .
Очень важно рассмотрение обусловленности задачи вычисления корня уравнения.
Пусть - корень уравнения (1.33), подлежащий определению. Будем считать, что входными данными для задачи вычисления корня являются значения функции в малой окрестности корня.
Так как значения будут вычисляться на ЭВМ по некоторой программе, то в действительности задаваемые значения являются приближенными и их следует обозначать через .
Ошибки в могут быть связаны не только с неизбежными ошибками округления, но и с использованием для вычисления значений функции приближенных методов. К сожалению, нельзя ожидать, что в окрестности корня относительная погрешность окажется малой.
Реально рассчитывать можно лишь на то, что малой окажется абсолютная погрешность вычисления значений функции.
Будем предполагать, что в достаточно малой окрестности корня выполняется неравенство , где
, где - граница абсолютной погрешности.
Сама погрешность корня ведет себя крайне нерегулярно и в первом приближении может восприниматься пользователем как некоторая случайная величина [18].
На рисунке 1, а представлена идеальная ситуация, отвечающая исходной математической постановке задачи, а на рисунке 1, б - реальная ситуация, соответствующая вычислениям значений функции на ЭВМ.
а) б)Рисунок 1 - а) график функции; б) график зашумленной функции
Если функция непрерывна, то найдется такая малая окрестность корня , имеющая радиус , в которой выполняется неравенство .
Для знак вычисленного значения , вообще говоря, не обязан совпадать со знаком и, следовательно, становится невозможным определить, какое именно значение из интервала обращает функцию в нуль (рисунок 1, б).
Будем называть этот интервал интервалом неопределенности корня . Найдем оценку величины .
Пусть корень - простой. Для близких к значений справедливо приближенное равенство
Поэтому равенство (2) примет вид , откуда получаем
.
Следовательно,
. (1.34)
а)б)
Рисунок 2 - График функции при различных отклонениях
Здесь - число, которое в рассматриваемой задаче играет роль абсолютного числа обусловленности.
Действительно, если - корень уравнения , то и тогда выполнено неравенство
. (1.35)
Заметим, что радиус интервала неопределенности прямо пропорционален погрешности вычисления значения . Кроме того, возрастает (обусловленность задачи ухудшается) с уменьшением , т.е. с уменьшением модуля тангенса угла наклона, под которым график функции пересекает ось (рисунок 2, а, б).
Если же (т.е. корень - кратный), то формула (1.35) уже не верна. Пусть кратность корня равна . Тогда в силу формулы Тейлора справедливо приближенное равенство , в правой части которого все слагаемые, кроме последнего, равны нулю. Следовательно, неравенство (1.34) имеет вид
.
Решая его, получаем аналогично (1.35) оценку радиуса интервала неопределенности:
.
Эта оценка означает, что для корня кратности радиус интервала неопределенности пропорционален , что свидетельствует о плохой обусловленности задачи вычисления кратных корней.
Отметим, что не может быть меньше ве