Обобщения полиномов Бернштейна в задачах устойчивости нелинейных динамических систем
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
личины - погрешности представления корня в ЭВМ.
В реальной ситуации оценить величину и даже порядок радиуса интервала неопределенности довольно сложно. Однако, знать о его существовании нужно по крайней мере по двум причинам.
Во-первых, не имеет смысла ставить задачу о вычислении корня с точностью .
В условиях неопределенности, вызванных приближенным заданием функции, любое значение может быть с одной и той же степенью достоверности принято за решение уравнения.
Во-вторых, нельзя требовать от алгоритмов отыскания корня получения достоверных результатов после того, как очередное приближение попало в интервал неопределенности или оказалось очень близко от него; в этой ситуации вычисления следует прекратить и считать, что получен максимум действительно возможного.
Для большинства итерационных методов определить этот момент можно, поскольку начиная с него поведение приближений становится крайне нерегулярным [24].
Если вдали от интервала неопределенности величина
(1.36)
обычно бывает меньше единицы , то появление при некотором значения свидетельствует, скорее всего, о начале разболтки - хаотического поведения итерационной последовательности. В этой ситуации вычисления имеет смысл прервать, чтобы выяснить причину явления и принять правильное решение.
Лучшим из полученных приближений к решению следует считать, конечно, . Использование для контроля вычислений величины (1.36) называют часто правилом Гарвика.
Задача отыскания решения системы нелинейных уравнений с неизвестными вида
,
, (1.37)
…………………
,
является существенно более сложной, чем задача отыскания решения уравнения с одним неизвестным.
Однако на практике она встречается значительно чаще, так как в реальных исследованиях интерес представляет, как правило, определение не одного, а нескольких параметров (нередко их число доходит до сотен и тысяч).
Найти точное решение системы, т.е. вектор , удовлетворяющий уравнениям (1.37), практически невозможно.
Для дальнейшего удобно использовать сокращенную векторную форму записи систем. Наряду с вектором неизвестных рассмотрим вектор-функцию . В этих обозначениях система (1.37) примет вид .
Будем считать функции непрерывно дифференцируемыми в некоторой окрестности решения . Введем для системы функций матрицу Якоби которая будет использована в дальнейшем.
, (1.38)
Основные этапы решения. Как и в случае уравнения с одним неизвестным, отыскание решений начинаются с этапа локализации. Для каждого из искомых решений указывают множество, которое содержит только одно это решение и расположено в достаточно малой его окрестности. Часто в качестве такого множества выступает параллелепипед или шар в m-мерном пространстве.
Иногда этап локализации не вызывает затруднений; соответствующие множества могут быть заданными, определяться из физических соображений, из смысла параметров либо быть известными из опыта решений подобных задач. Однако чаще всего задача локализации (в особенности при больших m) представляет собой сложную проблему, от успешного решения которой в основном и зависит возможность вычисления решений системы (1.37). На этапе локализации особое значение приобретают квалификация исследователя, понимание им существа решаемой научной или инженерной проблемы, опыт решения этой или близких задач на ЭВМ.
Во многих случаях полное решение задачи локализации невозможно и ее можно считать решенной удовлетворительно, если удается найти хорошее начальное приближение . В простейших случаях (например, для системы двух уравнений с двумя неизвестными) могут быть использованы графические методы.
На втором этапе для вычисления решения с заданной точностью используют один из итерационных методов решения нелинейных систем.
Будем считать, что определения, связанные с характеризацией сходимости итерационных методов, остаются в силе, причем в неравенствах знак модуля заменен на знак нормы, а -окрестность решения понимается как множество точек , удовлетворяющих условию .
Корректность и обусловленность задачи. Будем считать, что система (1.37) имеет решение , причем в некоторой окрестности этого решения матрица Якоби невырождена. Выполнение последнего условия гарантирует, что в указанной окрестности нет других решений системы (1.37).
Случай, когда в точке матрица вырождена, является существенно более трудным и нами рассматриваться не будет.
В одномерном случае первая ситуации отвечает наличию простого корня уравнения интервала неопределенности, внутри которого невозможно определить, какая из точек является решением уравнения.
Аналогично, погрешности в вычислении вектора-функции приводят к появлению области неопределенности D, содержащей решение системы (1.37) такой, что для всех векторное уравнение удовлетворяется с точностью до погрешности. Область D может иметь довольно сложную геометрическую структуру [19].
Мы удовлетворимся только лишь оценкой радиуса этой области.
Предположим, что для близких к значений вычисляемые значения удовлетворяют неравенству .
Тогда можно приближенно оценить с помощью неравенства .
Таким образом, в рассматриваемой задаче роль абсолютного числа обусловленности играет норма матрицы, обратной матрице Якоби .
1.3 Численные алгоритмы решения нелинейных уравнений
Многочлены в форме Бернштейна были описаны Сергеем Натановичем Берншт