Обобщения полиномов Бернштейна в задачах устойчивости нелинейных динамических систем
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
ДИПЛОМНАЯ РАБОТА
на тему:
"Обобщения полиномов Бернштейна в задачах устойчивости нелинейных динамических систем"
Введение
Теория динамических систем широко востребована большим спектром наук - физикой, биологией, механикой, экономикой и т.д. Она позволяет не только определить возможное направление развития исследуемого объекта, но и разработать комплекс адаптивных воздействий на систему для корректировки этого направления.
Исследованием динамических систем занимались такие отечественные и зарубежные ученые, как Ляпунов, Понтрякин, Четаев, Красовский, Аносов, Пуанкаре, Хайрер.
Одной из важных научных проблем естествознания является решение задачи предсказания поведения изучаемого объекта во времени и пространстве на основе определенных знаний о его начальном состоянии. Эта задача сводится к нахождению некоторого закона, который позволяет по имеющейся информации об объекте в начальный момент времени в точке пространства определить его будущее в любой момент времени.
На практике часты случаи, когда нельзя ограничиться рассмотрением только линейных математических моделей. Более того, ряд других особенностей природных процессов таких, как наличие конечной памяти, не может быть оставлен без внимания для более адекватного описания этих процессов. К сожалению, на сегодняшний день арсенал методов исследования динамических свойств процессов, описываемых нелинейными математическими моделями с отклоняющимся аргументом в условиях параметрической неопределенности, представлен в современных научных работах крайне скупо. В этой связи особую актуальность приобретают задачи разработки новых и развитие существующих методов исследования свойств нелинейных динамических моделей процессов в условиях параметрической неопределенности.
Новые перспективы в исследовании нелинейных систем открылись в связи с появлением компьютерного моделирования, что фактически позволяет ставить вычислительный эксперимент, дающий теоретическое решение в случае, когда аналитические методы исследования невозможно применить.
В данной работе рассматриваются нелинейные динамические системы, т.к. большинство практических задач механики, термодинамики, аэродинамики и т.д. описываются именно ими. Если система описывается алгебраическими уравнениями, то это описание состояния равновесия (статические системы).
Устойчивость характеризует одну из важнейших черт поведения систем и является фундаментальным понятием, используемым в физике, биологии, технике, экономике, а также кибернетике. Понятие устойчивости применяется для описания постоянства какой-либо черты поведения системы, понимаемого в весьма широком смысле.
Точная и строгая формулировка понятия устойчивости применительно к состоянию равновесия динамической системы была дана выдающимся русским ученым A.M. Ляпуновым.
Предметом нашего анализа будут не объекты вообще, а динамические системы в математическом понимании этого термина.
В дипломной работе рассматривается задача исследования устойчивости нелинейной динамической системы. Анализ носит приближенный характер. Аппроксимации функций проводятся с использованием обобщений полиномов Бернштейна. Основываясь на аппроксимационных многочленах Бернштейна. Для созданной итерационной формулы сделан анализ ее скорости сходимости и эффективности, приводится сравнение с классическими численными методами (метод Ньютона и его модификации, метод секущих и т.д.).
Оценка устойчивости нелинейных систем приводит к задаче решения нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений. В работе предлагается вариант итерационного процесса для решения этих задач.
Для оценки локальной устойчивости нелинейных динамических систем в работе предлагается использовать метод функций Ляпунова, в котором исследуется равномерное приближение функции Ляпунова, основанное на обобщенных полиномах Бернштейна.
1. Основные понятия теории динамических систем
1.1 Описание динамических систем с помощью дифференциальных уравнений
Под динамической системой понимают любой объект или процесс, для которого однозначно определено понятие состояния как совокупности некоторых величин в данный момент времени и задан закон, который описывает изменение (эволюцию) начального состояния с течением времени. Этот закон позволяет по начальному состоянию прогнозировать будущее состояние динамической системы, его называют законом эволюции. Описания динамических систем для задания закона эволюции также разнообразны: с помощью дифференциальных уравнений, дискретных отображений и т.д. Выбор одного из способов описания задает конкретный вид математической модели соответствующей динамической системы.
Математическая модель динамической системы считается заданной, если введены параметры (координаты) системы, определяющие однозначно ее состояние, и указан закон эволюции. В зависимости от степени приближения одной и той же системе могут быть поставлены в соответствие различные математические модели [5].
Исследование реальных систем сводится к изучению математических моделей, совершенствование и развитие которых определяются анализом экспериментальных и теоретических результатов при их сопоставлении.<