Обобщения полиномов Бернштейна в задачах устойчивости нелинейных динамических систем

Дипломная работа - Математика и статистика

Другие дипломы по предмету Математика и статистика

p> (1.24)

 

Очевидно, есть решение уравнения тогда и только тогда, когда - неподвижная точка функции .

Мы покажем, что при определенных условиях задача о неподвижной точке имеет единственное решение и итерационная последовательность (1.23) сходится к этому решению. Вследствие специального вида этих условий доказательство будет простым. Существует много других доказательств подобных утверждений как для вещественных функций, так и для абстрактных пространств, использующих различные предположения [26].

Предположим, что функция ? определена на некотором замкнутом ограниченном интервале и принимает значения из этого интервала. Тогда, если принадлежит , то и все принадлежат . Для существования решения уравнения (1.22) нужно предполагать непрерывность ?. А именно, справедлива

Лемма 1. Пусть ? - непрерывная функция, действующая из в . Тогда существует такое , что .

Доказательство. Поскольку ? действует из в , то , . Положим . Тогда и, согласно теореме о промежуточных значениях, существует такое число ?, что . Последнее равнозначно соотношению .

Для получения дальнейших результатов наложим дополнительные ограничения на ?. Пусть

 

(1.25)

 

для производных точек и из . Заметим, что это сжимающее условие Липшица обусловливает непрерывность. Покажем, что при этом условии решение уравнения единственно.

Лемма 2. Пусть - функция, действующая из в и удовлетворяющая сжимающему условию Липшица (1.25). Тогда уравнение имеет не более одного решения.

Доказательство. Предположим, что существуют два различных решения и . Следовательно, , и . Используя (1.25), получаем

 

 

что невозможно.

Таким образом, установлены условия, гарантирующие существование и единственность решения ? уравнения . Покажем теперь, что последовательность, задаваемая соотношением , сходится к этому решению.

Теорема 1. Пусть - замкнутый ограниченный интервал, ? - функция, действующая из в и удовлетворяющая условию

 

 

для произвольных точек и из . Пусть - произвольная точка из и . Тогда последовательность сходится к единственному решению уравнения , лежащему в.

Доказательство. Лемма 1 и 2 гарантируют существование и единственность решения ? уравнения . Это решение и претендует на роль предела последовательности, определяемой соотношением . Очевидно,

 

 

Из условия Липшица следует, что

 

 

Таким образом, и .

Если бы мы не знали, что уравнение имеет единственное решение, то пришлось бы показать, что последовательность удовлетворяет критерию Коши.

Оценка погрешности приближения, зависящая только от первых двух приближений и константы Липшица, выводится так. Из условия Липшица следует, что для всех

 

(1.26)

 

Пусть и - произвольные положительные целые числа. Тогда

 

 

поэтому

 

 

Учитывая (1.26), получаем, что

 

 

Или

 

(1.27)

 

Пусть . Тогда

 

Это соотношение дает верхнюю границу погрешности приближения. Отметим, что если близко к единице, то сходимость может быть очень медленной.

Выше для решения уравнения использовалась итерационная процедура . Для задач, которые мы будем рассматривать в дальнейшем, это нетипично. В общем случае нам предстоит иметь дело с итерационным_уравнением вида и для него строить функционал, выполняющий роль ИФ. Показано, что если ? удовлетворяет сжимающему условию Липшица, то итерационная последовательность сходится к единственному решению задачи о неподвижной точке. В дальнейшем будем уделять больше внимания не поиску слабых достаточных условий, обеспечивающих сходимость итерационной последовательности, а построению таких ИФ, для которых эта последовательность сходится быстро [22].

При этом мы будем готовы потребовать выполнения гораздо более сильных условий, чем условие Липшица. В частности, будем предполагать, что в рассматриваемом интервале имеет нуль.

Предположим, что производная непрерывна в окрестности точки ?. Если и функция ? непрерывна, то

 

 

Поэтому потребуем, чтобы

 

(1.28)

 

Отметим, что

 

где расположено в промежутке между и ?. Используя (1.28), получаем

 

(1.29)

 

Потребуем, чтобы в некоторой окрестности точки ? выполнялось условие .

Ввиду непрерывности для этого достаточно потребовать, чтобы . Тогда существует такая окрестность точки ?, что , для всех из этой окрестности и . Тогда , и .

Точку ?, для которой при любой начальной точке , взятой из достаточно малой окрестности точки ?, последовательность сходится к ?, называют точкой притяжения.

Только что доказанный результат можно сформулировать так: если производная непрерывна в окрестности точки ?, для которой и , то является точкой притяжения.

Далее, пусть . Тогда не обращается в нуль в некоторой окрестности точки ?. Положим ; при этом (1.29) примет вид , ясно, что если и не обращается в нуль, то и отлично от нуля для любого конечного номера .

Иными словами, итерационная последовательность не может сойтись к решению за конечное число шагов, если ее члены лежат в окрестности точки ?, в которой .

Следовательно, и . Это - случай сходимости первого порядка, или линейной сходимости.

В случае же сверхлинейной сходимости можно отказаться от требования ; итерационная последовательность всегда сходится в некоторой окрестности точки ?.

В до