Обобщения полиномов Бернштейна в задачах устойчивости нелинейных динамических систем
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
равнение этой прямой, которое является решением одного из уравнений: или .
Уравнение семейства фазовых траекторий, которые являются прямыми, в данном случае легко решаются аналитически. По полученным уравнения множество точек покоя и фазовые траектории вычерчиваются на фазовой плоскости;
г) в оставшихся случаях (дикритический узел и фазовая плоскость) фазовый портрет вычерчивается непосредственно.
. Определить направление движения по фазовым траекториям и изобразить его стрелками на фазовом портрете.
Построим фазовый портрет динамической системы
Решение. Можно сразу выписать уравнение фазовых траекторий, разделив второе уравнение системы на первое. Однако, для того чтобы получить аналитическое выражение для семейства фазовых траекторий, удобнее сначала перейти к полярным координатам:
Отсюда . Продифференцируем последние два равенства по :
(2.29)
Теперь вернемся к решаемой системе: умножим первое уравнение этой системы на , а второе на и сложим полученные уравнения:
С учетом первого уравнения системы (2.29) получаем
или (2.30)
Далее умножим второе уравнение исходной системы на , а первое на вычтем из второго уравнения первое:
С учетом второго уравнения системы (2.29) получаем
или . (2.31)
Интегрируем уравнение (2.30):
В результате получаем
(2.32)
Решая уравнение (2.31), находим . Таким образом, получаем общее решение поставленной задачи:
Полагая в (2.31) , получаем
Эти равенства определяют замкнутую траекторию - окружность . Если , то и при . Это означает, что существует единственная замкнутая траектория , к которой с течением времени приближаются все остальные траектории (рисунок 13).
Таким образом, окружность является устойчивым предельным циклом системы.
Заметим, что в данном примере уравнение предельного цикла удалось найти явно [21].
В общем случае этого сделать нельзя, поэтому обычно для построения фазового портрета используются приближенные методы, например, метод изоклин.
2.3Оценка локальной устойчивости нелинейных динамических систем
В работе рассматривается оценка устойчивости равновесия системы с помощью метода функции Ляпунова, в котором исследуется равномерное приближение функции Ляпунова, основанное на обобщенных полиномах Бернштейна.
Исследуются автономные системы дифференциальных уравнений. Задается система обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, имеющая следующий вид:
(2.33)
Рассмотрим алгоритм оценки параметров нелинейной динамической системы с помощью обобщений полиномов Бернштейна:
1.Область, в которой исследуется решение выбранной системы, имеет вид выпуклого многогранника.
2.Функция Ляпунова нелинейной системы (2.33) строится как сумма произведений коэффициентов на базисные полиномы Бернштейна:
. (2.34)
3.Записываются формулы для выпуклой комбинации вершин данного многогранника:
,
где ,
- номер вершины треугольника.
Добавляется условие нормировки: и формулы для расчета узлов:
(2.35)
(2.36)
В формулу для обобщений полиномов Бернштейна подставив выражения (2.35), (2.36), получим:
(2.37)
В формулу (2.34) подставим выражение (2.37). Зададим условие для вспомогательной функции :
. (2.38)
Решение системы (2.38) методом наименьших квадратов (МНК) приводит к системе линейных алгебраических уравнений, из которой находятся коэффициенты .
.Подставив определенные коэффициенты в формулу (2.34), анализируется поведение функции вблизи неподвижной точки на основе теоремы Ляпунова об устойчивости.
Иллюстрация метода на примере исследования на устойчивость нелинейных динамических систем 2-го порядка.
.Задается автономная система нелинейных дифференциальных уравнений 2-го порядка:
(2.39)
2.Строиться область: квадрат, в которой предположительно находится неподвижная точка системы (2.39).
Рисунок 14 - Область нахождения неподвижной точки
.Записываются формулы для выпуклой комбинации вершин квадрата и условие нормировки:
Выразим переменные через x и y:
. (2.40)
Выразив функцию , подставив в (2.34) выражение (2.37). Приравнивая частные производные к правым частям системы (2.39) (необходимо, чтобы степени левой и правой части уравнения были равны), получается система линейных алгебраических уравнений, из которой МНК находятся коэффициенты: . Возвращаясь к переменным x и y в выражении (2.34) получается функция, исследуя которую с помощью теоремы Ляпунова (об устойчивости) можно сделать вывод, что система нелинейных дифференциальных уравнений (2.37) устойчива.
Заключение
В работе построены итерационные алгоритмы решения нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений, обеспечивающие высокую скорость сходимости и устойчивые к погрешностям в исходных данных.
В ходе компьютерных экспериментов было установлено, что итерационная формула на основе аппроксимационного полинома Бернштейна, не зависит от изменения количества узлов, степени полинома и точности задания функции в сравнении с классическими итерационными методами (метод Ньютона, метод секущих).
В данно