Обобщения полиномов Бернштейна в задачах устойчивости нелинейных динамических систем
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
показывает, что алгоритм работает и в более сложных случаях.
Рассмотрим тестовый пример.
. Решим нелинейную систему уравнений (1.51):
(1.51)
Данную систему уравнений можно решить аналитически или графически и получить точное решение (найти точный корень).
) Для решения системы уравнений (1.51) воспользуемся методом подстановки, получим:
Получаем два решения этой системы уравнений (1, 3) и (-3, 5).
Решим систему нелинейных уравнений (1.51) на области треугольника с вершинами I - (0, 4); II - (8, 0); III - (0, - 4).
Построим этот треугольник в декартовой системе координат и отметим на ней корень (1, 3), т. к. он лежит в области треугольника.
Рисунок 7 - Решение системы уравнений в области треугольника
Т.к. любая точка выпуклого многогранника является выпуклой комбинацией его вершин, для данного треугольника получим систему уравнений, добавляя к вышесказанному условие нормировки:
(1.52)
Подставляя вершины треугольника в систему уравнений (1.52), получим:
(1.53)
Подставим выраженные через ?1, ?2, ?3 переменные x и y в систему уравнений (1.51), добавляя к ней условие нормировки, получим систему нелинейных уравнений относительно трех неизвестных ?1, ?2, ?3:
(1.54)
Решим систему нелинейных уравнений (1.54) итерационным методом Ньютона (Приложение Б).
В Таблице 4 приведены последовательные приближения корней.
Решение системы нелинейных уравнений (1.54) найдено с точностью ? =0.001 и имеет вид (0.813, 0.125, 0.062).
Подставим найденные ?1, ?2, ?3 в систему уравнений (1.52) получим:
Итак, приближенный корень для нелинейной системы уравнений (1.51) имеет вид (, ) и практически совпадает с ее точным корнем (1, 3).
Таблица 4 - Приближения корней методом Ньютона
i?1?2?3000011.1250.333?0.45820.8840.172?0.05630.8180.1290.05340.8130.1250.062
2.Решим систему нелинейных уравнений:
(1.55)
Данную систему уравнений можно решить графически (рисунок 8).
Приблизительно корень равен (2.25, -0.1).
Решим систему нелинейных уравнений (1.51) на области треугольника с вершинами I - (0, 4); II - (8, 0); III - (0, - 4).
Построим этот треугольник в декартовой системе координат и отметим на ней корень (1, 3), т. к. он лежит в области треугольника.
Рисунок 8 - Графическое решение системы
Рисунок 9 - Решение системы уравнений в области треугольника
Используя выражения для переменных x и y и условие нормировки из системы уравнений (1.52), получим систему нелинейных уравнений относительно трех неизвестных ?1, ?2, ?3:
(1.56)
Решим систему нелинейных уравнений (1.56) итерационным методом Ньютона.
Таблица 5 - Приближения корней методом Ньютона
i?1?2?3000010.4380.3760.41020.3460.2850.36830.3520.2730.375
Итак, решение системы (1.56) итерационным методом Ньютона с заданной точностью ? =0.001 имеет вид (0.352, 0.273, 0.375).
Подставим найденные значения ?1, ?2, ?3 в выражения для x и y и получим приближенный корень (2.187, ?0.09) для нелинейной системы уравнений (1.54).
.9 Решение систем нелинейных уравнений на основе аппроксимации обобщениями полиномов Бернштейна
Рассмотрим обобщения полиномов Бернштейна для полигональных областей на плоскости, которые представляются следующим образом:
где
выпуклые комбинации вершин m-угольника.
Рассмотрим тестовый пример:
Пусть задана система нелинейных уравнений следующего вида:
Исходная система уравнений в выпуклой области локализации корня приближается обобщениями полиномов Бернштейна.
Решение полученной системы нелинейных алгебраических уравнений специального вида может быть записано в виде цепной дроби.
Замена в исходной системе уравнений функций их аппроксимантами, позволяет упростить задачу.
Уточнение значения корня осуществляется за счет увеличения количества узлов или степени аппроксимационного полинома.
Данную систему можно решить несколькими способами. Ниже, на рисунке представлено графическое решение.
Нелинейная система уравнений:
(1.57)
В данной главе была рассмотрена задача оценки параметров системы (оценка корня нелинейной системы уравнений с помощью задания точности вычислений) и алгоритм оценки параметров.
Использование обобщенных полиномов Бернштейна помогло избежать локализации корней, благодаря заданию области и, таким образом, к быстрому переходу к итерационному методу. Таким образом, алгоритм оценки параметров системы упрощается, благодаря обобщенным полиномам Бернштейна.
Уменьшение погрешности, с которой вычислялся корень системы, привело к нахождению более точного решения [25].
2. Анализ устойчивости нелинейных динамических систем
2.1 Основные понятия и обозначения
Рассмотрим решение ,… системы n уравнений, определенной в пространстве RN с координатами ,
(2.1)
где причем переменные и можно считать соответственно пространственными и временными координатами. Решения описывают состояния некоторой системы, поэтому будем называть их переменными состояния. Предполагается, что уравнения зависят от параметров (числа Рейнольдса, структурной константы, напряженности магнитного поля и т.д.), т.е. последние могут качественно влиять на свойства решения , и естественно назвать их управляющими параметрами.
Проблема исследования решений системы уравнений (2.1), даже если речь идет о т?/p>