Обобщения полиномов Бернштейна в задачах устойчивости нелинейных динамических систем
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
?м, как зависят эти решения от управляющих параметров , является исключительно сложной.
Однако, ее можно упростить, сделав ряд последовательных предположений.
1.Предположим, что выражение (2.1), которое в самом общем виде будет интегро-дифференциальным уравнением (или значительно хуже), в действительности не содержит интегралов. Фактически это означает, что система уравнений (2.1) есть не что иное, как множество (нелинейных) уравнений в частных производных.
2.В целях дальнейшего упрощения предположим, что система уравнений (2.1) не содержит пространственных производных любого порядка, т.е.
(2.2)
.Поскольку решение данной системы уравнений вызывает существенные затруднения, предположим, что она полностью не зависит от пространственных координат :
(2.3)
.Следующее предположение сводится к тому, сто система уравнений (2.3) содержит производные по времени не выше первого порядка и, кроме того, эти производные входят в упрощенную функцию специальным (каноническим) образом:
(2.4)
Систему уравнений данного типа называют динамической системой.
И опять же она слишком трудна для исследования.
.Для упрощения динамической системы предположим, что функции [выражение (2.4)] полностью не зависит от времени.
Тогда получим динамическую систему уравнений:
(2.5)
Относительно автономных динамических систем, зависящих от малого числа управляющих параметров , уже может быть высказано несколько полезных и сильных утверждений.
.Наконец, заметим, что функции во многом аналогичны компонентам силы в классической механике. В последней существенное упрощение возможно тогда, когда сила является консервативной. Если все функции могут быть заданы антиградиентом (по отношению к ) некоторой потенциальной функции, то получаем систему уравнений
(2.6)
которую называют градиентной системой . О свойствах таких систем может быть доказано довольно много глубоких теорем.
Особый интерес представляет изучение состояния равновесия градиентных динамических систем, которое может быть описано с помощью следующей системы уравнений:
(2.7)
(Эти уравнения могут не иметь решений , иметь одно или более чем одно решение , одно решение, если , и три решения, если .) В этом случае может быть доказано большое число полезных и сильных утверждений, как о состоянии равновесия градиентных систем, так и о том, как эти состояния зависят от управляющих параметров . Таким образом, можно сделать вывод, согласно которому элементарная теория катастроф - это наука о том, каким образом состояния равновесия потенциальной функции изменяются при изменении управляющих параметров . Устойчивость равновесия системы исследуется с помощью вспомогательной системы [13].
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений:
(2.8)
решение которой удовлетворяет начальным условиям:
(2.9)
Обозначим
(2.10)
(2.11)
Согласно этим обозначениям, задачу (2.8), (2.9) можно записать в виде:
(2.12)
(2.13)
Пусть начальные данные х0 подвержены воздействию некоторых возмущений и вместо них имеем в (2.13) начальные данные (значения) z0.
Тогда и решение задачи (2.12), (2.13), вообще говоря, будут другими, отличными от х(t), которые обозначим через z(t).
Определение 1 (устойчивость по Ляпунову)
Решение х=х(t) системы дифференциальных уравнений (2.12), определенное при всех и удовлетворяющее начальным условиям (2.13), называется устойчивым (по Ляпунову, в смысле Ляпунова), если для любого действительного числа существует такое действительное число , что для всякого решения z(t0)=z0, которое удовлетворяет неравенству
(2.14)
при всех выполняется неравенство
(2.15)
Таким образом, устойчивость по Ляпунову решения x(t) системы (2.12), удовлетворяющей начальным данным (2.13), означает, что малым изменениям в начальных данных x(t0)=x0 соответствуют малые изменения в самом решении x(t).
Определение 2 (неустойчивости по Ляпунову).
Решение x=x(t) системы дифференциальных уравнений (2.12), определенное при всех и удовлетворяющее начальным условиям (2.13), называется неустойчивым по Ляпунову, если для некоторого действительного числа и любого действительного найдется решение z(t) этой системы (2.12), отвечающее начальным данным z(t0)=z0 и момент времени t1>t0, , такие, что
, (2.16)
хотя
(2.17)
Следовательно, неустойчивость по Ляпунову решения x(t) системы (2.12), удовлетворяющее начальным данным (2.13), означает, что малым изменениям в начальных данных x(t0)=x0 соответствуют большие изменения решения x(t).
Определение 3 (асимптотической устойчивости).
Решение x=x(t) системы дифференциальных уравнений (2.12), определенное при всех и удовлетворяющее начальным условиям (2.13), называется асимптотически устойчивым, если:
1.оно устойчиво по Ляпунову;
2.для всякого t1>t0 существует действительное число такое, что
(2.18)
(2.19)
Асимптотическая устойчивость решения x(t) системы (2.12) означает, что x(t) получает не только малые изменения при малых изменениях начальных данных x(t0), но, кроме того, эти изменения решения x(t) затухают с ростом t, начиная с момента времени t1>t0.
Пусть найдено решение x(t)=(t) системы (2.12), удовлетворяющее начальным данным (2.13):
Тогда с помощью замены
(2.20)
система (2.13) преобразуется в эквивалентную систему
&nb