Обобщения полиномов Бернштейна в задачах устойчивости нелинейных динамических систем
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
появляются ни возвращающие, ни отклоняющие силы.
Анализ неустойчивых движений основан на том же принципе: определяется временная зависимость малых отклонений от заданной траектории. Используются линейные по отклонениям уравнения (высшими степенями пренебрегают), решения которых имеют вид:
(1.6)
Числа Ляпунова при этом уже не постоянны, а зависят от времени. Траектория является неустойчивой, если среди чисел имеются такие, вещественные части которых положительны при .
Подчеркнем важное свойство: числа Ляпунова являются характеристическими (или собственными) числами системы; они не зависят от начальных условий. Таким образом, устойчивость (или неустойчивость) - внутреннее свойство исследуемой системы, а не результат внешнего воздействия. Особенность его в том, что проявляется оно только при наличии малых внешних воздействий. Эта особенность привела к важным методологическим последствиям. Сейчас приходится пересматривать и подвергать ревизии некоторые, казалось бы, установившиеся в физике понятия [12].
1.2 Методы решения нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений
Очень часто в различных областях физики, техники, экономики и т.д. приходится встречаться с математическими задачами, для которых не удается найти решение классическими методами или решения выражены громоздкими формулами, которые не приемлемы для практического использования. Поэтому большое значение приобрели итерационные методы. В большинстве случаев итерационные методы являются приближенными, так как с их помощью обычно решаются задачи, аппроксимирующие исходные. В ряде случаев итерационный метод строится на базе бесконечного процесса, который в пределе сводится к искомому решению. Однако реально предельный переход не удается осуществить, и процесс, прерванный на некотором шаге, дает приближенное решение. Кроме того, источниками погрешности являются несоответствие математической модели изучаемому реальному явлению и погрешность исходных данных [2].
Как известно, многие скалярные уравнения не всегда имеют аналитическое решение, в этом случае используются итерационные методы с заданной степенью точности: задача приближенного вычисления нуля функции f(x), или что, то же самое, задача приближенного вычисления корня уравнения f(x)=0. Термины нуль функции f, корень уравнения f(x)=0 и решение уравнения f(x)=0 будут использоваться как эквивалентные. По-видимому, у рассматриваемой задачи нет общепризнанного точного названия. В самом деле, термин решение уравнения охватывает и решение дифференциальных уравнений. Прилагательные алгебраическое и трансцендентное обычно используются для различения случаев, когда f соответственно является или не является многочленом. Представляется, что наиболее подходящим термином для данной задачи является термин поиск корней.
Независимая переменная указывается или не указывается явно в зависимости от того, идет ли речь о функции или о значении функции в некоторой точке из области определения. Учитываются и соображения удобства чтения формул. Таким образом, обозначения f и f(x) будут использоваться как равноправные.
Производные функции f будут обозначаться либо через f(l), либо через f??f?…, причем f(0)= f. Если f?? не обращается в нуль в окрестности точки ? и производная f(l) непрерывна в этой окрестности, то у f существует обратная функция F, производная F(l) которой непрерывна в некоторой окрестности нуля.
Нуль ? имеет кратность m, если f(x)=(x-?)mg(x), причем функция g(x) ограничена в окрестности точки ? и g(?)? 0.
Будем предполагать, что m - целое положительное число. Если m=1, то ? называется простым нулем; если же m > 1, то ? называется кратным нулем.
Пусть xi, xi-1, …xi-n - набор из n+1 точек, являющихся приближениями к решению ?, а выбор xi+1 полностью определяется информацией, полученной в точках xi, xi-1, …xi-n. Обозначим через ? функцию, задающую соответствие между набором xi, xi-1, …xi-n и точкой очередного приближения xi+1, т.е.
xi+1= ?(xi, xi-1, …xi-n) (1.7)
Определенную таким образом функцию ? будем называть итерационной функцией. В дальнейшем вместо термина итерационная функция как в единственном, так и во множественном числе будет использоваться аббревиатура ИФ.
Даже простейший итерационный алгоритм включает начальное приближение (приближения), ИФ и численный критерий, позволяющий установить, что сходимость достигнута.
В основу классификации ИФ положим характер использования ими информации.
Информацию о значениях функции f и ее производных в точке xi, вычисляемую в ходе выполнения очередной i-й итерации, будем называть новой в отличии от информации, вычисленной в ходе предшествовавших итераций и уже использовавшейся при выборе соответствующих приближений.
Последнюю будем называть старой, или ранее вычисленной информацией. Предположим, что выбор xi+1 определяется только новой информацией в точке xi, а ранее вычисленная информация не используется. Тогда
i+1 = ? (xi), (1.8)
а ? называется одноточечной ИФ.
Наиболее известным примером ИФ этого рода является ИФ Ньютона.
Пусть теперь выбор xi+1 определяется новой информацией в точке xi и ранее вычисленной информацией в точках xi+1,…, xi-n. Тогда
xi+1 = ?(xi; xi-1, …xi-n) (1.9)
а ? называется одноточечной ИФ с памятью.
Символ ; в (1.9) отделяет точку xi, в которой вычисляется новая информация, от точек, информация в которых уже использовалась. Наиболее известным примером одноточечной ИФ с памятью является ИФ ме?/p>