Обобщения полиномов Бернштейна в задачах устойчивости нелинейных динамических систем

Дипломная работа - Математика и статистика

Другие дипломы по предмету Математика и статистика

?ода секущих.

Пусть выбор xi+1 определяется на основе новой информации в точках xi,?1(xi), …, ?k(xi), где k ? 1, а ранее вычисленная информация не используется.

Тогда

i+1 = ?(xi; ?1(xi), …, ?k(xi)), (1.10)

 

а ? называется многоточечной ИФ. Среди многоточечных ИФ нет широко известных.

Наконец, обозначим zj, набор из k+1 чисел xj; ?1(xj), …, ?k(xj), где k ? 1. Если

 

xi+1 = ?(zi; zi-1, …, zi-n), (1.11)

 

то ? называется многоточечной ИФ с памятью. Как и в (1.9), символ ; в (1.11) отделяет точки, в которых определяется новая информация, от точек, информация в которых уже использовалась [16].

Широко известных примеров многоточечных функций с памятью не существует.

Мы подошли к важному понятию порядка ИФ. Пусть последовательность x0, x1,…, xi, … сходится к ?. Положим ei = xi - ?. Если существует действительное число p и ненулевая константа C, такие, что

| ei+1| / | ei | > C (1.12)

 

то p называется порядком последовательности, а C - константой асимптотики погрешности.

Установим связь между порядком последовательности {xi} и порождающей ее ИФ.

Для этого представим (1.12) в виде

 

(1.13)

 

Если существуют вещественное p и ненулевая константа С, удовлетворяющие (1.13), то приписываем ИФ ? порядок p независимо от того, сходится порождаемая ею последовательность или нет.

Ясно, что если последовательность сходится, то порядок итерационной функции и порядок порожденной ею последовательности совпадают. Единственность порядка будет установлена ниже.

Принадлежность ? классу ИФ, имеющих порядок p, будет обозначаться

 

(1.14)

 

В приведенных определениях порядок связан с кратностью. Будем называть порядок независимым от кратности, если порядок одинаков для нулей любой кратности. В противном случае будем называть порядок зависимым от кратности. В частности, порядок, равный единице для всех кратных нулей, а для простых нулей превышающих единицу, будем называть линейным для всех кратных нулей [7].

Прилагательные линейный и квадратичный будут иногда использоваться вместо первый и второй.

Заметим, что если порядок существует, то он единствен. В самом деле, пусть сходящаяся последовательность имеет два порядка: и , причем Тогда

 

 

откуда следует, что

 

 

Но последнее противоречит предположению о том, что порядок равен .

Ниже будет показано, что ИФ с памятью не могут быть целого порядка.

Если производная непрерывна и

 

(1.15)

 

то ? имеет порядок и .

Уравнение (1.15) можно переписать в виде:

В классической работе E. Schroder, относящейся к 1870 г., дано следующее определение порядка: ? имеет порядок , если

 

(1.16)

 

Это определение имеет смысл только для ИФ одной переменной, имеющих непрерывных производных [18].

В отличие от многих авторов, основывающихся на этом определении, мы предпочтем представить его в виде утверждения теоремы 1.

Для достижения поставленных целей нам потребуется мера информации, используемой ИФ, и эффективности ИФ.

В качестве измерителя информации естественно принять объем информационного запроса d (informational usage), выражаемый количеством элементов новой информации, используемой в каждой итерации.

Поскольку информация используется в форме значений и ее производных, объем информационного запроса равен количеству значений производных, вычисляемых в ходе итерации (считается, что сама функция является производной нулевого порядка).

Принадлежность ? классу ИФ порядка с объемом информационного запроса d будем обозначать посредством

(1.17)

 

Меру эффективности определим следующим образом: эффективность использования информации EFF равна частному от деления порядка на объем информационного запроса, т.е.

 

(1.18)

 

Другое определение эффективности выглядит так:

 

(1.19)

 

Величина (1.19) названа индексом эффективности.

Одноточечные ИФ и одноточечные ИФ с памятью вычисляют только одно новое значение каждой производной или вычисляются первые производных, то объем информационного запроса равен s, а

устойчивость динамический берштейн аппроксимация

(1.20)

 

Предположим, что одноточечная ИФ использует старую информацию в n точках. Положим

 

(1.21)

 

Таким образом, r равно произведению числа элементов новой информации на общее число точек, в которых используется информация. Величины являются характеристиками определенных семейств ИФ. Там, где невозможно двоякое толкование, эти буквы будут использоваться и для иных целей. Оптимальными назовем такие одноточечные ИФ, для которых . Очевидно, что для оптимальных одноточечных ИФ . Базовой последовательностью ИФ назовем бесконечную последовательность ИФ , член которой имеет порядок p. Оптимальной базовой последовательностью называется базовая последовательность, все члены которой оптимальны.

Иногда последовательность и отдельные ее члены будут обозначаться одним и тем же символом; при этом смысл обозначения будет ясен из контекста.

Рассмотрим решение уравнения

 

(1.22)

при помощи итерации

 

(1.23)

 

Число ?, удовлетворяющее уравнению (1.22), называется неподвижной точкой функции . Проблема нахождения неподвижных точек функций возникает во многих областях математики. Рассмотрим связь между решением задачи о неподвижной точке и решением уравнения . Пусть - произвольная функция, значение которой отлично от нуля и конечно. Положим

 

<