Обобщения полиномов Бернштейна в задачах устойчивости нелинейных динамических систем
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
полнение к условию предположим теперь, что производная , непрерывна.
Тогда
где точка расположена в промежутке между и ?. Ясно, что имеет порядок только в том случае, если , а .
В этом случае , где .
Поскольку , производная также не обращается в нуль в некоторой окрестности точки ?. Но тогда алгоритм не может сойтись за конечное число шагов, если и все члены итерационной последовательности лежат в окрестности точки ?, где не обращается в нуль.
Теорема 2. Предположим, что -я производная итерационной функции непрерывна в некоторой окрестности точки ?. Положим .
Тогда имеет порядок в том и только том случае, если
; .
Кроме того, .
Напомним, что наличие у итерационной функции некоторого положительного порядка еще не гарантирует сходимости порождаемой ею последовательности.
Достаточные условия сходимости этой последовательности будут установлены ниже.
Выше было показано, что последовательность, порожденная ИФ линейного порядка, может не сходиться ни в какой окрестности точки ?. Теперь мы увидим, что порожденная сверхлинейной ИФ последовательность всегда сходится в некоторой окрестности точки ?.
Проводимые ниже рассуждения охватывают случаи как сверхлинейной, так и линейной сходимости [14].
Исходным моментом наших рассуждений является соотношение
, (1.30)
Положим . Предположим, что производная непрерывна на и соотношение выполнено для всех из . Из условия следует, что . Поэтому
Предположим, что
(1.31)
Тогда . Следовательно, . Докажем по индукции, что при выполнении (1.31) для всех справедливо
(1.32)
В самом деле, пусть (1.32) выполнено для некоторого номера . Тогда
Следовательно, (1.32) выполнено и для , что завершает индукцию. Поскольку , то . Таким образом, теорема доказана.
Теорема 3. Предположим, что производная непрерывна на интервале .
Пусть, кроме того, и соотношение
выполняется для всех из , причем . Тогда для любого и .
Пусть производная непрерывна в окрестности точки ? и имеет первый порядок.
Сходимость к ? последовательности, порожденной , эквивалентна условию , за исключением случая, когда какой-то из элементов оказывается в точности равным ?.
Существенность последнего условия иллюстрирует пример
В рассматриваемом случае непрерывна в окрестности нуля и , тем не менее итерационная последовательность сходится для любого из единичного интервала.
За исключением подобных случаев, для сходимости необходимо, чтобы по модулю не превышало единицу. В то же время, если производная непрерывна в некоторой окрестности точки ? при , то всегда существует такая окрестность точки ?, в которой итерация обязательно сходится.
Это только одно из целого ряда преимуществ сверхлинейной сходимости над линейной [28].
Пожалуй, наиболее важное преимущество можно нестрого сформулировать так: приближение к ? имеет в раз больше верных цифр по сравнению с .
ИФ более высокого порядка во многих случаях требует меньшего суммарного количества вычислений значений функции и ее производных.
Основные недостатки, проявляющиеся при использовании ИФ высокого порядка, состоят в росте сложности формул и стоимости вычислений высших производных функции .
Задачу нахождения решений скалярных уравнений можно сформулировать различными способами.
Например, как задачу на нахождение корней: f(x)=0, или как задачу на нахождение неподвижной точки: F(x)=x.
При этом, в зависимости от формулировки задачи, удобно применять те или иные итерационные способы решения: метод простых итераций, метод деления пополам, метод Ньютона и т.д.
Итак, задача отыскивания корней нелинейного уравнения с одним неизвестным вида
(1.33)
имеет многовековую историю, но не потеряла свою актуальность и в наши дни. Она часто возникает как элементарный шаг при решении различных научных и технических проблем. Корнем (или решением) уравнения (1.33) называется значение , при котором . Предположим, что в окрестности каждого из искомых корней функция дважды непрерывно дифференцируема.
Корень уравнения (1.33) называется простым, если . В противном случае (т.е. в случае ) корень называется кратным. Целое число назовем кратностью корня , если для и . Геометрический корень соответствует точке пересечения графика функции с осью . Корень является простым, если график пересекает ось под ненулевым углом, и кратным, если пересечение происходит под нулевым углом.
Уточним постановку задачи. В конкретной задаче часто интерес представляют не все корни уравнения, а лишь некоторые из них. Тогда постановку задачи уточняют, указывая на то, какие из корней подлежат определению (положительные корни, корни из заданного интервала, максимальный из корней и т.д.).
В подавляющем большинстве случаев представить решение уравнения (1.27) в виде конечной формулы оказывается невозможным. Невозможность найти точное решение нелинейного уравнения кажется огорчительной. Однако нужно признать, что желание найти точное числовое значение решения вряд ли следует считать разумным. Во-первых, в реальных исследованиях зависимость является лишь приближенным описанием, моделирующим истинную связь между параметрами и . Поэтому точное решение уравнения (1.33) все равно является лишь приближенным значением того параметра x, который в действительности соответствует значению . Во-вторых,