Обобщения полиномов Бернштейна в задачах устойчивости нелинейных динамических систем
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
sp;
(2.21)
а начальные условия примут вид
(t0)=0 (2.22)
Если задача (2.21), (2.22) удовлетворяет условиям теоремы о единственности решения, то единственным решением (2.21), (2.22) будет , .
Нулевое решение y(t)=0, , принято называть тривиальным решением уравнения (2.22).
Из сказанного следует, что исследование на устойчивость решения задачи (2.12), (2.13) эквивалентно исследованию на устойчивость тривиального решения y(t)=0 задачи (2.21), (2.22).
Второй метод Ляпунова.
Определение 5. Шаром (радиуса , , и с центром в начале координат ) в - мерном пространстве называется множество точек , удовлетворяющих условию: .
Обозначим - мерный шар радиуса с центром в точке через т.е. .
Определение 6. Скалярная функция n переменных непрерывная в шаре , называется:
.положительно - определенной в шаре , если для всех исключая точку (0,0,…, 0), имеет место неравенство
.отрицательно - определенной в шаре , если для всех исключая точку (0,0,…, 0), имеет место неравенство
.знакоопределенной в , если она является в либо только положительно - определенной, либо только отрицательно - определенной;
.положительно - постоянной в , если для всех исключая точку (0,0,…, 0), имеет место неравенство
.отрицательно в , если для всех исключая точку (0,0,…, 0), выполняется неравенство
.знакопостоянной в , если она является в либо только положительно - постоянной, либо только отрицательно - постоянной;
.знакопеременной в , если она является в как положительные, так и отрицательные значения.
Пусть система дифференциальных уравнений (2.12) (т.е. (2.8)) является автономной, т.е. функции , не зависят явно от времени t:
(2.23)
Будем предполагать, что функции в (2.23) при некотором h>0 удовлетворяют в шаре условиям:
.они непрерывны в ;
.удовлетворяют условиям Липшица:
. (2.24)
Выполнение условий 1) - 3) гарантирует, что при нулевом начальном условии система (2.23) имеет единственное тривиальное решение в шаре .
Теорема 4 (теорема Ляпунова об устойчивости). Пусть существует (задана) функция , которая в шаре удовлетворяет условиям:
. является знакоопределенной функцией,
. непрерывно дифференцируема по переменным ,
. при производная
является знакопостоянной и имеет знак, противоположный знаку или тождественно равна нулю.
Тогда тривиальное решение системы дифференциальных уравнений (2.23) устойчиво.
Теорема 5 (теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости).
Пусть существует (задана) функция , которая в шаре удовлетворяет условиям:
. является знакоопределенной функцией.
. непрерывно дифференцируема по переменным ,
. При производная является знакоопределенной и имеет знак, противоположный знаку .
Тогда тривиальное решение системы дифференциальных уравнений (2.23) асимптотически устойчиво.
Теорема 6 (теорема Ляпунова о неустойчивости).
Пусть существует (задана) функция , которая в шаре удовлетворяет условиям:
. непрерывно дифференцируема по переменным ,
. При производная
(2.25)
является знакоопределенной. Пусть в любой окрестности точки (0,0,…, 0) найдется точка , для которой знак функции U(t) совпадает со знаком производной (2.25), т.е. либо
(2.26)
либо
(2.27)
Тогда тривиальное решение системы дифференциальных уравнений (2.23) неустойчиво.
Замечание 1. Обратим внимания, что условия (2.26), (2.27) можно записать следующим образом:
(2.28)
Замечание 2. В теореме 6 отсутствует требование о знакопостоянстве функции в данном случае может как быть знакоопределенной функцией так и не быть ею.
Замечание 3. Производную вида (2.27) принято называть производной по функции в силу системы дифференциальных уравнений (2.23).
Замечание 4. функцию принято называть функцией Ляпунова.
Замечание 5. Исследование на устойчивость решения системы дифференциальных уравнений с помощью теорем 1-3 требует определенных знаний о свойствах решения этой системы. Совокупность теорем типа 1-3 называют первым методом Ляпунова (исследования на устойчивость системы (2.23)). Совокупность теорем 4-6 позволяет обходиться при исследовании на устойчивость решения без такого рода знаний: исследования производятся путем построения и изучения свойств функции Ляпунова . Поэтому совокупность теорем типа 4-6 принято называть вторым методом Ляпунова [19].
2.2 Анализ поведения динамических систем на фазовой плоскости
Одним из основных методов качественной теории дифференциальных уравнений является метод фазовой плоскости.
Алгоритм построения фазового портрета.
1.Выписать характеристическое уравнение и найти его решения - собственные значения , .
.По таблице определить тип точки покоя и сделать вывод об устойчивости тривиального решения.
.Начертить фазовый портрет:
а) если точка покоя является узлом или седлом, то следует найти собственные векторы и матрицы (в случае найти только вектор ) и начертить определяемые этими векторами прямые на фазовой плоскости. Далее вычерчивается фазовый портрет. При этом учитывается, что в случае узла фазовые траектории касаются той прямой, которая отвечает меньшему по модулю собственному значению;
б) если точек покоя является центром или фокусом, то семейство фазовых траекторий можно получить, применив метод изоклин или, если это удобнее, решив уравнение аналитически;
в) если множество точек покоя - прямая, то необходимо выписать у