Функциональная линия в стандартах школьного образования
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
их в терминах математики, имевшей дело на тот момент только с постоянными объектами. Чтобы создать математический аппарат для изучения движений, понадобилось понятие переменной величины. Это понятие было введено французским философом и математиком Рене Декартом. Он ввел фиксированный единичный отрезок и стал рассматривать отношения других отрезков к нему. Зависимости между величинами стали выражаться как зависимости между числами. Это была неявно выраженная идея числовой функции числового аргумента.
При записи зависимостей между величинами Декарт стад применять буквы. Отношения между известными и неизвестными величинами Декарт выражал в виде уравнений, которые начал изображать геометрически.
К началу XVII века были знакомы уже такие кривые как эллипс, гипербола, парабола и другие. Но не было еще общего метода изучения линий. Открытия Декарта дали возможность изучения и получения новых кривых.
Вообще в течение XVII века было открыто очень много кривых, и в связи с этим понадобились общие понятия, которые позволили бы их изучать.
Четкого понятия функции в XVII веке еще не было, однако путь к первому такому определению проложил Декарт. Понятие функции у него было изложено на языке геометрии, так как запас функций в то время был очень узок. Для создания единого подхода в различных случаях зависимости величин друг от друга понадобилось новое, более общее понятие.
Часто бывает так, что в науке ученые долгое время применяют некоторое понятие в неявном виде. Оно встречается под разными именами, так как нет общего названия. И когда это понятие получает имя, все замечают, что давно работали с ним. Примерно такая ситуация и сложилась с понятием функции.
Слово функциям (от латинского function - совершение, выполнение) начал употреблять знаменитый математик Г. Лейбниц с 1673 года в смысле роли, то есть величины, выполняющей ту или иную функцию. В начале понятие функции не было свободно от геометрической формы. Как термин выражение функция от х стало употребляться Г. Лейбницем и И. Бернулли начиная с 1698 года. Лейбниц ввел также термины переменная и константа (постоянная). Явное определение функции, свободное от геометрического языка, было дано в 1718 году учеником Лейбница, швейцарским математиком Иоганном Бернулли. Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной ветчины и постоянных. Это определение опиралось не только на работы Лейбница, но и на труды Исаака Ньютона, который исследовал большое количество самых разных функциональных зависимостей.
Леонард Эйлер во Введение в анализ бесконечных (1748 год) примыкает к определению своего учителя Иоганна Бернулли, но немного уточняет его: Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким - либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств. И так понимали функцию на протяжение XVIII века. Но Леонард Эйлер постоянно подвергал понятие функции дальнейшему развитию.
В Дифференциальном исчислении, вышедшем в свет в 1755 году, Л. Эйлер дает общее определение функции: Когда некоторые количества зависят от других, таким, образом, что при изменении последних и сами они подвергаются, изменению, то первые называются функциями вторых. На основе этого французский математик С.Ф. Лакруа в своих работах отметил: Всякое количество, значение которого зависит от одного или многих других количеств, называется функцией этих последних не зависимо от того, известно или нет, какие операции нужно применить, чтобы перейти от них к первому.
Как видно из приведенных определений, само понятие функции фактически отождествлялось с аналитическим выражением.
К середине XVIII века ученые решили много задач механики. В центре внимания встали и проблемы механики сплошных тел. Простейшей из проблем являлось изучение колебаний струны, закон которой определяется функцией двух переменных u=f (х,t). Между Эйлером и Даламбером вспыхнул спор о толковании найденного ими решения. Первоначальное отклонение струны могло задаваться различными выражениями на различных участках. Отсюда, вытекало, что одним из неизменных вопросов в XVIII веке, связанных с понятием функции был вопрос о том, можно ли одну функцию задать несколькими аналитическими выражениями. В спор вмешался еще один математик - Даниил Бернулли, который считал, что его решение охватывает самый общий случай. Эйлер и Даламбер были с ним не согласны, считая, что два различных выражения не могут задавать одну и ту же функцию. Д. Бернулли и Л. Эйлер не смогли доказать справедливость своей точки зрения. Вследствие этого в конце XVIII века математики давая определение функции, уклонялись от ответа на вопрос о том, как. же она выражается. Французский математик Лакруа писал: Всякое количество, значение которого зависит от одного или многих количеств, называется функцией этих последних, независимо от того, известно или нет, какие операции нужно применить чтобы перейти оm них к первому. То есть Лакруа уже не отождествлял понятие функции с ее аналитическим выражением. Окончательный разрыв между понятиями функции и ее аналитическим выражением произошел в начале XIX века.
Большой вклад в решение этого спора внес французский математик Ж. Фурье. В представленных им мемуарах по теории распространения тепла в твердом теле Фурье привел первые примеры функций, которые заданы на различных участках различными аналитическими выражениями. Стало<