Курс лекций для специальности Прикладная математика и информатика

Вид материала

Курс лекций

Содержание P(A) = k / n = Число благоприятствующих для события А исходов / Число всех возможных исходов Пример (парадокс Монти Холла) Уу…унун…н ) Теорема (Интегральная теорема Муавра - Лапласа). Теорема (Пуассона) Формула свертки для функции распределения Пример, когда обратное утверждение в свойстве 4 неверно. Если , то такие случайные величины называют 2-ой способ вычисления (по определению) Существует несколько различных теорем, в которых даются условия решения этой задачи. Приведем одно из условий. Число называется Марковское свойство ЦМ с конечным числом состояний (конечная ЦМ {КЦМ}).

Подобный материал:

• Программа по курсу "Математика. Алгебра и геометрия" для специальности 080801 (351400), 143.45kb.
• Программа вступительного экзамена по математике подготовки магистров по направлению, 86.94kb.
• Программа дисциплины дс. 08 «Информационная безопасность» для студентов специальности, 149.66kb.
• Программа дисциплины ф дифференциальные уравнения для студентов специальности 010501, 101.63kb.
• Программа дисциплины математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения., 139.76kb.
• Рабочая программа по дисциплине «принятие управленческих решений» (по выбору) для специальности, 89.25kb.
• Программа дисциплины Современная прикладная алгебра для направления 010500 Прикладная, 214.78kb.
• Программа дисциплины ф. 8 Общая физика Разделы «Механика», «Колебания и волны», «Молекулярная, 113.79kb.
• «Прикладная математика и информатика», 3781.56kb.
• Основная образовательная программа специальности высшего профессионального образования, 68.9kb.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Курс лекций для специальности Прикладная математика и информатика

(краткий конспект лекций, созданный при участии студентов 321 группы Гавриловой Кристины, Ямаловой Дианы и Большакова Валерия)

Лекция 1. (07.09.10)

§1.Случайные события, операции над событиями, вероятность, вероятностные пространства.

Будем рассматривать эксперимент, который заканчивается одним из многих исходов. Мы можем описать все возможные исходы, но каким конкретно исходом закончится эксперимент, заранее мы сказать не можем. Введём ряд определений и обозначений.

-множество исходов нашего эксперимента (множество элементарных событий);

-элементарные события, элементы множества исходов;

Пусть на определена - σ -алгебра подмножеств ;

Если – случайное событие.


Будем говорить, что событие произошло, если эксперимент заканчивается исходом , если – не произошло.

Рассмотрим и -случайные события ()– сумма событий и ;

Примеры случайных событий.

Рассмотрим однократное подбрасывание игрального кубика: _= { }

Если множество конечное или счётное, то в качестве σ –алгебры будет множество всех подмножеств (если n элементов, то в σ –алгебре 2ⁿ событий)

С={ }-выпала чётная грань, D= { }-выпала грань, делящаяся на 3.

Пусть - произведение случайных событий и ;

- событие, обратное к событию .

- достоверное событие, событие, которое всегда происходит.

_= Ø - невозможное событие.


Пусть имеются два случайных события и () и . Тогда события и называют несовместными событиями. Например, и – пара несовместных событий.

Рассмотрим набор событий , для которых выполнены 2 условия:

1.

2. = -достоверное событие

Тогда – полная система событий.


Ещё один пример.

Рассмотрим отрезок [0,1]. Случайно «бросаем» на него точку. Тогда . Множество точек на отрезке более чем счётно. В качестве σ- алгебры берут множество измеримых по Лебегу подмножеств.

Определим основное понятие «вероятность»:

Пусть имеются . Функция _ удовлетворяет 3 условиям:

1. _{ }
   
2. 
   
3. Не более чем счётное число случайных событий =
   

В этом случае называется вероятностью, а три условия - аксиомами.

Тройка элементов – вероятностное пространство.

Пример.

1. Однократное подбрасывание монеты.
   

О - орёл, Р - решка.

Ω={O, Р}, ={{O}, {P}, {O,P},Ø}.

({O})= ({P})=⅟₂ , (Ω)=1 , (Ø)=0;

({O})=⅕ , ({P})=⅘ , (Ω)=1 , (Ø)=0.

Чёткого способа задания нет. Но если есть симметрия, то пользуемся ей.

2. Дважды подбрасываем игральный кубик.
   

Ω = {(i, j): 1≤ i, j ≤ 6}. Всего 36 возможностей.

F=.

Будем предполагать, что кубики правильные - честные.

({(i,j)})=⅟₃₆; ({})=^k⁄₃₆.

§2.Свойства вероятности

Имеется произвольное вероятностное пространство ()

Свойства:

1) P(_) =1 - P (A) ,

2) 0 P(A) 1 ,

3) P() = 0

4) P (A ∪ B ) = P(A) + P(B) – P(AB)

4*) ;

5) ;

6) («событие А предшествует событию В» или «событие А влечёт за собой событие В»)

7) Пусть имеется последовательность расширяющихся событий

8) Пусть имеется последовательность вложенных событий

Свойства 7),8) принято называть свойствами непрерывности вероятности.

Доказательство:

1) A, _ – несовместные события _ P(A _) = P(A) + P(_); P(A _) = P (Ω) = 1 P(_) = 1 – P(A).

2)Левое неравенство – аксиома 1.

Правое: 1 = P(A) + P(_), P(_) _ P(A) + P(_) P(A)

3) = _{ } P() = 1 - P (Ω) = 0

4) A ∪ B = A_ ∪ AB ∪ _, где A_, AB, _ - попарно несовместные события

3 акс: P (A ∪ B ) = P(A_) + P(AB) + P (_) + P(AB) - P(AB), где P(A_) + P(AB) = P(A),

P (_) + P(AB) = P(B).

6) B = AB ∪ _ = A ∪ _, где A и _ – несовместные.

P (B) = P (A) + P (_) P(A), т.к. P (_) 0.

5) ,где ,,… и попарно несовместные.

По 3^ей аксиоме:

7) где -попарно несовместные события.

По 3^ей аксиоме:

8)_1⊂ _2⊂ _3 …; _ = _ = ∪ _i P (_) = _, где P (_) = 1 – P(B)

_ = _(1 – P(B_n)) =1 - _P(B_n)

Вывод: P(B) = _P(B_n)


§3.Классическое определение вероятности или схема равновозможных исходов

Множество элементарных событий состоит из конечного числа элементарных событий, т.е. Ω = { ω₁ … ω_n}, F= 2 ^Ω

Все исходы равновозможны ó P({ω₁}) = P({ω₂}) = … = P({ω_n}) =

Рассмотрим произвольное событие А= { ω_i₁, ω_i₂ … ω_ik }. Тогда по 3^ей аксиоме

P(A) = k / n = Число благоприятствующих для события А исходов / Число всех возможных исходов. Это классическое определение вероятности.

Пример.

Рассмотрим ящик, в котором M белых и N черных шаров. Вытаскиваем 10 шаров.

Событие А= {вытащить 2белых и 8черных шаров}

Пронумеруем шарики: 10< M, 10< N

Результат – десятка конкретных шариков.

Общее число исходов = _

Число благоприятных исходов = _ * _

P (A) = _


Задача для самостоятельного решения (о нерадивом секретаре): У секретаря есть N конвертов и N писем (и то, и другое занумеровано). Он случайным образом кладет письма в конверты. Какова вероятность того, что хотя бы в одном случае будет совпадение номера письма и номера конверта? Если мы вероятность этого события обозначим , получить .


Лекция 2. (14.09.10)

§4. Условная вероятность

Пусть имеются два случайных события и пусть .

Условной вероятностью события при условии события наз. число

Рассмотрим пример условной вероятности.

Будем рассматривать следующую ситуацию:

Семья с двумя детьми, при этом набор детей может быть следующим : (ДД), (ДМ), (МД), (ММ).

Предполагаем, что - события равновероятны.

Событие -старший ребёнок девочка.

Событие -среди детей имеется девочка. Тогда

; .

Формула умножения вероятностей.

Пусть - случайные события. . Тогда верно равенство

.


Рассмотрим функцию такую, что для _случайного события где .

Теорема. Функция -вероятность.

Доказательство. Проверим 3 условия вероятности.

1. Возьмём произвольное событие .
   
2. 
   
3. Рассмотрим набор попарно несовместных событий (набор может быть и бесконечный)
   

,.



из 1),2),3) -вероятность.


Следствие. Все свойства вероятности выполнены и для условной вероятности (8 свойств).

Т.е. свойства вероятности верны и для условной вероятности. В частности,